Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ТОРГОВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Коваленко М.И. 1
1 ФГБОУ ВО «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина»
В настоящее время достижения математики и вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях. Одной из основных ставится задача создания единой системы оптимального планирования и управления деятельностью предприятий на базе широкого применения математических методов. Статья посвящена математическим методам оптимизации деятельности торгового предприятия в условиях рыночной экономики. Теория и методы экономико-математического моделирования позволяют строить текущие и перспективные планы, обеспечивать планы необходимыми ресурсами, принимать и реализовывать эффективные управленческие решения. В статье освещаются научные подходы, обеспечивающие решение прикладной задачи оптимизации деятельности торгового предприятия на основе динамических моделей. Особое внимание уделяется математическим аспектам управления запасами торговой фирмы. Решается задача определения оптимального плана выпуска продукции, обеспечивающего заданный спрос при минимизации затрат на ее производство и хранение. В качестве эффективного средства определения оптимальной стратегии управления запасами на торговом предприятии рассматривается метод динамического программирования. Представленная в работе экономико-математическая модель обеспечивает управленческий персонал торгового предприятия необходимой аналитической информацией, повышает адекватность и оперативность принимаемых управленческих решений и тем самым конкурентоспособность предприятия.
торговое предприятие
управление запасами
метод динамического программирования
1. Жук Л.В., Прокуратова О.Н. Лекции по исследованию операций. – Елец, 2010. – 77 с.
2. Жук Л.В., Прокуратова О.Н. Лекции по математическому программированию и теории игр. – Елец, 2011. – 123 с.
3. Колемаев, В.А. Математическая экономика. − Юнити-Дана, 2005.− 405 с.
4. Кузнецов, Б.Т. Математические методы и модели исследования операций. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.−305 с.
5. Рыжиков, Ю.И. Теория очередей и управление запасами. – СПб., 2001. − 251 с.
6. Черноморов Г.А. Теория принятия решений. – Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2002. – 276 с.

Современная экономическая ситуация в России характеризуется усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, развитием торговой индустрии. В этих условиях существенно возрастают требования к методам планирования и хозяйственного руководства. Широкое применение в менеджменте организаций находят теория и методы экономико-математического моделирования, позволяющие формировать систему целей, строить текущие и перспективные планы, оптимизировать их обеспечение необходимыми ресурсами, принимать эффективные управленческие решения.

В условиях рыночной экономики особое внимание математиков и экономистов привлекает разработка методов совершенствования деятельности торговых предприятий, представляющих собой независимые хозяйствующие субъекты, осуществляющие закупку, хранение, реализацию товаров с целью получения прибыли и удовлетворения потребностей рынка. Организация эффективной деятельности торгового предприятия способствует созданию устойчивых связей между экономическими контрагентами – от производителя до конечного потребителя [4].

В то же время анализ работ в области экономико-математического моделирования показывает, что проблемы планирования деятельности торговых предприятий остаются малоизученными. Большинство математических моделей, разработанных в сфере коммерческой деятельности, относятся к производственным организациям. При этом вопросы оптимизации рассматриваются не в комплексе, а по отдельным этапам и сферам деятельности: оптимизация инвестиционной политики, управление оборотным капиталом, планирование производственной мощности предприятия, управление запасами, эффективное использование трудовых ресурсов, составление оптимальных маршрутов, расписаний и др.

Недостаточная разработанность проблемы выявления совокупности экономико-математических методов оптимизации деятельности торгового предприятия в условиях рыночной экономики определяет актуальность темы исследования. Предметом исследования выступают модели и методы линейного и динамического программирования как инструментальные средства оптимизации деятельности торгового предприятия.

Динамическое программирование – метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми. В данной статье рассматривается математический подход к решению задачи оптимального управления запасами. Возникновение задач этого типа связано с работами Ф. Эджуорта и Ф. Харриса, появившимися в конце 19 − начале 20 века, в которых исследовалась простая оптимизационная модель для определения экономичного размера партии поставки для складской системы с постоянным равномерным расходом и периодическим поступлением хранимого продукта [5].

Запасом называется любой ресурс, который хранится для удовлетворения будущих нужд. Примерами запасов могут стать полуфабрикаты, готовые изделия, материалы, различные товары, а также денежная наличность, находящаяся в хранилище. Причинами создания запасов являются дискретность поставок, случайные колебания спроса за период между поставками, объема поставок, сезонность спроса или производства. Существуют также причины, побуждающие предприятия минимизировать запасы: плата за хранение, физические потери при хранении; моральный износ продукта [3].

Рассмотрим предприятие, производящее партиями некоторые изделия. Предположим, что оно получило заказы на п месяцев, причем размеры заказов меняются от месяца к месяцу, поэтому иногда целесообразнее выполнить одной партией заказы нескольких месяцев и затем хранить изделия, пока они не потребуются. Необходимо составить план производства на указанные месяцы с учетом затрат на производство и хранение.

Введем обозначения:

иi − число изделий, производимых в j-й  месяц;

xj − величина запаса к началу j-го месяца;

dj − число изделий, отгружаемых в j-м месяце;

fj(xj+1,uj) − затраты производство и хранение изделий в j-м месяце.

Считаем, что величины запасов к началу первого месяца х1 и к концу последнего хn+1 заданы. Задача состоит в том, чтобы найти план производства

(1)

компоненты которого удовлетворяют условиям баланса

xj+uj-dj=xj+1j=1,2,…, n            (2)

и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период

(3)

При этом (4)

Заметим, что для любого месяца j величина xj+1 запаса к концу месяца должна удовлетворять ограничениям

0≤xj+1dj+1+dj+2+…+dn,                                (5)

т. е. объем производимой продукции иj на этапе j может быть настолько велик, что запас xj+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапах, но нет смысла иметь xj+1 больше суммарного спроса на всех последующих этапах. Кроме того, управление uj должно удовлетворять ограничениям

0≤ujdj+xj+1     (6).

Рассмотрим общее решение данной задачи методом динамического программирования, взяв за основу алгоритм, представленный в [2].

За параметр состояния х примем наличный запас в конце k-го месяца х=хk+1, а функцию состояния Fk(x) определим как минимальные затраты за первые k месяцев при выполнении условия (5):

где минимум берется по неотрицательным целым значениям и1, и1...,ик, удовлетворяющим условиям

xj+uj-dj = xj+1,

xk+uk-dk=x    (7)

Учитывая, что

и величина запаса хk к концу (k−1)-го периода, как видно из уравнения (7), равна хк = x+dk-uk  приходим к рекуррентному соотношению

где минимум берется по переменной ик, которая, согласно (6), может изменяться в пределах 0≤ukdk+x, причем верхняя граница зависит от значений параметра состояния, изменяющегося в пределах 0≤xdk+1+dk+1+…+dn , а индекс k может принимать значения k=2,3,4,…, n.

При k = 1

, где

u1=x+d1-x1

0≤xd2+d3+…+dn ,

т. е. на начальном этапе при фиксированном уровне x1 исходного запаса каждому значению параметра х отвечает только одно значение переменной u1.

Применив вычислительную процедуру динамического программирования на последнем шаге (k=n), находим значение последней компоненты и*n оптимального решения, а остальные компоненты определяем как

В качестве конкретного примера рассмотрим деятельность предприятия по производству полуфабрикатов в течение N календарных этапов планирования (месяцев). Каждый n-й этап характеризуется следующими параметрами:

in?1 ? величина запаса, оставшаяся на предприятии после окончания предыдущего n?1 -го этапа;

хn ? объем производства предприятия на n-м этапе;

dn ? величина спроса на продукцию предприятия на n-м этапе.

Известна функция затрат сп на п-м этапе функционирования предприятия, зависящая от объема хn производства и величины запасов in-1, которые должны храниться на складе в течение n-го периода.

Необходимо определить объем производства для каждого этапа планирования, при котором суммарные затраты, связанные с производством продукции и ее хранением, были бы минимальны, и в каждом периоде выполнялось ограничение на спрос продукции со стороны потребителей.

Критерий оптимальности представляется в виде:

→ min.

Ограничения:

1) удовлетворение спроса потребителей на продукцию в n-м периоде

dn in-1 + xn,     n = 1,¯N;

2) объем запаса в конце n-го периода

in =in-1 + xn – dn  ,    n= 1,¯N,    in =0,¯imax ,      хn =0,¯хтах .

Функциональное уравнение Беллмана имеет вид:

fn (in)= minxn (fn-1 (in?1) + сn(хп, in?1)).

Рассмотрим решение уравнения Беллмана для случая, когда  cn(xn, in?1)=cn(xn)+hin?1,

где сnn) затраты на производство продукции на n-м этапе в объеме хn,

hin?1 ? затраты на хранение продукции на n-м этапе, h ? коэффициент;

i0 ? начальный запас продукции;

c0(i0) ? затраты на его создание;  

hi0  ? затраты на его хранение.

Решим рассматриваемую задачу для следующих исходных данных:

  • количсество интервалов планирования (месяцев) N=3;
  • величина спроса на полуфабрикаты постоянна для всех этапов:

d1 =d2 = d3 = 400 кг/ мес.;

  • затраты на формирование начального запаса с0(x0) = 90·i0; (коэффициент 90 складывается из 70 руб./кг – себестоимость одного килограмма полуфабрикатов ? и 20 руб./ кг идут на заработную плату работников;
  • затраты на производство и хранение продукции

сп (хп,in?1) =12000+70· хn +10• in-1;

(12000 руб. – месячный расход на заработную плату, 70 руб./кг – себестоимость одного килограмма продукции, 10 руб./кг – стоимость хранения 1 кг продукции в месяц, т.е. затраты на оплату электроэнергии, потребляемой морозильными камерами, а также на текущий ремонт оборудования);

  • ограничение на производственные мощности хтax = 600 кг/мес;
  • ограничение на предельный уровень запасов iтах= 400 кг/мес.

Шаг 1. Решение уравнения Беллмана производится в соответствии с алгоритмом прямой прогонки:

 f1(i1)=min(c1(x1)+c0(i0)+h•i0),

i1= x1+ i0?d1.

Для решения этого уравнения формируется таблица 1, в которой столбцы соответствуют величине начального запаса, строки ? объему производства на первом этапе х1. Каждая клетка таблицы делится на две части: в нижней части записываются значения состояния в конце первого этапа (значения для переменной i1): i1=i0+x1–d1.

Если i1 отрицательно, то такие состояния являются недопустимыми и исключаются из рассмотрения. В частности, для положительного спроса d1 > 0 клетка с х1=0 и i0=0 является недопустимой. Клетки, соответствующие недопустимым состояниям, отмечаются символом * [6].

В верхней части каждой из клеток записывается значение функции

f* (i1) = c1(x1) + c0(i0) + hi0.

Приведем вычисление ряда функций f1*(i1):

f1* (0) = c1(0) + с0(400) + 10•400 = 0 + 90•400 + 4000 = 40000,

f1* (0) = c1(100) + с0(300) + 10•300 = 12000 + 70•100 + 90•300 + 3000 = 49000,

f1*(100) = c1(100)+с0(400) +10•400 =12000 + 70•100 + 90•400 + 4000 = 59000,

f1*(0) = c1 (200) + с0(200) + 10•200= 12000 + 70•200 + 90•200 + 2000 = 46000,

f1* (100) = c1(200) +с0(300) +10•300 =12000 +70•200 + 90•300 +3000 = 56000,

f1*(200) = c1(200) + с0(400) +10•400 = 12000+70•200 + 90•400 +4000 = 66000.

Таблица 1

Расчетная таблица для шага 1

Объем производства x1

Величина начального запаса

 

i0=0

i0=100

i0=200

i0=300

i0=400

x1= 0

*

*

*

*

40000

 

 

 

 

 

i1=0

x1= 100

*

*

*

49000

59000

 

 

 

 

i1= 0

i1 = 100

x1=200

*

*

46000

56000

66000

 

 

 

i1= 0

i1= 100

i1= 200

x1=300

*

43000

53000

63000

73000

 

 

i1= 0

i1=100

i1=200

i1= 300

x1=400

40000

50000

60000

70000

80000

 

i1 =0

i1=100

i1=200

i1=300

i1=400

x1 = 500

47000

57000

67000

77000

*

 

i1= 100

i1 = 200

i1= 300

i1 = 400

 

x1 = 600

54000

64000

74000

*

*

 

i1=200

i1 = 300

i1= 400

 

 

 

Среди допустимых клеток находятся клетки с одинаковыми значениями состояний, в качестве оптимальной выбирается клетка, для которой f* (i1) принимает минимальное значение, т.е. f(i1) = min{f*(i1)}. Для каждого состояния фиксируется оптимальный объем производства х1. Результаты представляются в окончательной таблице для первого шага: в первом столбце приводится перечень состояний, во втором ? оптимальный объем производства для каждого из состояний; в третьем ? оптимальные затраты на производство и хранение запаса для первого календарного периода. Максимальное значение состояния первого этапа ограничивается imax, т.е. i1= imax , а минимальное ? i1=0.

Итоговая таблица для шага 1

Объем запаса i1

Объем производства x1

Функция затрат f1(i1)

i1 = 0

x1 =400

f1 (0)=40000

i1 = 100

x1=500

f1(100)=47000

i1 = 200

x1=600

f1 (200)=54000

i1 = 300

x1 =600

f1 (300)=64000

i1 = 400

x1 =600

f1 (400)=74000

 

Аналогичные действия выполняются для всех этапов, пока n не достигнет значения N.

Для нахождения оптимальных объемов производства хn и оптимальных уровней запаса in производим решение задачи в обратном порядке:

i3 = 0,  х3 = 0; i2 = 400, х2 = 600; i1=200, x1 = 600; i0 = 0.

Вывод: для минимизации затрат на производство и хранение продукции, предприятию следует в первые два месяца производить на максимальной мощности, а в третьем месяце – только реализовать имеющиеся запасы. Такой режим работы может повторяться неоднократно.


Библиографическая ссылка

Коваленко М.И. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ТОРГОВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ // Международный студенческий научный вестник. – 2019. – № 1. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=19487 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074