Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕСОВЫХ ФУКЦИЙ

Беднаж В.А. 1 Моргунова Е.Ю. 1
1 Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского
Теория функций одного переменного является одним из важнейших направлений в комплексном анализе и играет значительную роль как в классической, так и в современной математике. В теории функций одного комплексного переменного и ее многочисленных приложениях существенную роль играют пространства аналитических функций в единичном круге комплексной плоскости. Методы, разработанные в процессе решения задач, связанных с этими пространствами, нашли существенные приложения в теории рядов и интегралов Фурье, в теории сингулярных и интегральных операторов и других разделах комплексного и гармонического анализа. В представленной заметке приведен обзор некоторых результатов, касающихся весовых пространств в комплексной плоскости, рассмотрены некоторые аспекты теории весовых пространств аналитических в круге функций, а именно их интегральные представления.
измеримые функции
положительные функции
ограниченные функции
интегральное представление
1. Шамоян Ф.А., Родикова Е.Г. О характеризации корневых множеств одного весового класса аналитических в круге функций // Владикавказский математический журнал. – 2014. – Т. 16: № 3. – С. 64–75.
2. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp-классов мероморфных функций. – Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009.
3. Benedek A., Panzone R. The spaces Lp with mixed norm // Duke Math. – 1961. – V.28, №3. – PP.301–324.

Пусть Ω множество измеримых положительных функций ω на mor2.wmf для которых существуют числа mor3.wmf, причем mor4.wmf, такие, что

mor5.wmf,

mor6.wmf, mor7.wmf [1].

Очевидно, что произвольная положительная измеримая на [0,1] функция ω, отделенная от нуля и бесконечности на отрезке [0,1], принадлежит классу Ω. Отметим также, что функции вида

mor9.wmf

при всех mor10.wmf также принадлежат классу Ω, а функции вида

mor11.wmf

не принадлежат данному классу [2].

В дальнейшем для краткости изложения будем опускать индексы чисел mor12.wmf. Рассмотрим класс Ω при

mor13.wmf.

В следующей теореме мы получим интегральное представление функции из класса

mor14.wmf

Теорема 1.1. Класс Ω совпадает с классом функций ω, допускающих на Δ представление

mor15.wmf

где η и ε – ограниченные измеримые функции на Δ, причем

mor18.wmf.

Доказательство теоремы основано на ряде вспомогательных утверждений. [3]

Лемма 1.1. Если

mor19.wmf,

то mor20.wmf

Доказательство. При mor21.wmf оценка следует непосредственно из определения класса Ω.

Предположим, что оценка установлена для некоторого mor22.wmf, то есть для

mor23.wmf

справедливо

mor24.wmf

Докажем аналогичную оценку при mor25.wmf.

Пусть

mor26.wmf.

Положим mor27.wmf, очевидно, что

mor28.wmf.

По предположению

mor29.wmf

mor30.wmf.

Но поскольку mor31.wmf, и

mor32.wmf

то

mor33.wmf

Используя предположение индукции, получим оценку

mor34.wmf

то есть mor35.wmf, mor36.wmf.

Лемма 1.2. Пусть mor37.wmf тогда существуют положительные числа mor38.wmf mor39.wmf такие, что

mor40.wmf.

Доказательство. Пусть

mor41.wmf

По лемме 1.1.

mor42.wmf,

при

mor43.wmf.

Докажем, что аналогичная оценка верна и при всех

mor44.wmf mor45.wmf.

Действительно, поскольку

mor46.wmf mor47.wmf,

то mor48.wmf.

Записывая теперь аналогичную оценку для произвольного k, получим:

mor49.wmf

при всех

mor50.wmf

Положив далее

mor51.wmf, mor52.wmf

получим:

mor53.wmf

то есть

mor54.wmf,

mor55.wmf

или

mor56.wmf mor57.wmf,

где mor58.wmf

Доказательство теоремы 1.1.

Положим

mor59.wmf (1.1)

Очевидно, что функция δ измерима и ограничена. Действительно,

mor60.wmf

mor61.wmf

mor62.wmf,

поэтому, интегрируя по отрезку mor63.wmf, получим:

mor64.wmf,

mor65.wmf, или mor66.wmf.

Из равенства (1.1) непосредственно следует, что

mor67.wmf.

Преобразуем последний интеграл:

mor68.wmf.

Учитывая равенства

mor69.wmf

mor70.wmf

mor71.wmf

имеем:

mor72.wmf

Положив далее

mor73.wmf

получим нужное представление, причем

mor74.wmf

mor75.wmf

mor76.wmf mor77.wmf (1.2)

В дальнейшем положим

mor78.wmf mor79.wmf (1.3)

Очевидно, что

mor80.wmf,

при этом mor81.wmf

Следствие 1.1. Пусть

mor82.wmf

mor83.wmf

Тогда при mor84.wmf справедлива оценка

mor85.wmf.

Доказательство. Из оценок (1.2), (1.3) имеем

mor86.wmf

то есть

mor87.wmf.

Аналогично, учитывая ограниченность функции ε снизу и оценку (1.2), получим

mor89.wmf, mor90.wmf.


Библиографическая ссылка

Беднаж В.А., Моргунова Е.Ю. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕСОВЫХ ФУКЦИЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18231 (дата обращения: 14.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074