Пусть Ω множество измеримых положительных функций ω на 
для которых существуют числа 
, причем 
, такие, что
,
, 
[1].
Очевидно, что произвольная положительная измеримая на [0,1] функция ω, отделенная от нуля и бесконечности на отрезке [0,1], принадлежит классу Ω. Отметим также, что функции вида
при всех 
также принадлежат классу Ω, а функции вида
не принадлежат данному классу [2].
В дальнейшем для краткости изложения будем опускать индексы чисел 
. Рассмотрим класс Ω при
.
В следующей теореме мы получим интегральное представление функции из класса
Теорема 1.1. Класс Ω совпадает с классом функций ω, допускающих на Δ представление
где η и ε – ограниченные измеримые функции на Δ, причем
.
Доказательство теоремы основано на ряде вспомогательных утверждений. [3]
Лемма 1.1. Если
,
то 
Доказательство. При 
оценка следует непосредственно из определения класса Ω.
Предположим, что оценка установлена для некоторого 
, то есть для
справедливо
Докажем аналогичную оценку при 
.
Пусть
.
Положим 
, очевидно, что
.
По предположению
.
Но поскольку 
, и
то
Используя предположение индукции, получим оценку
то есть 
, 
.
Лемма 1.2. Пусть 
тогда существуют положительные числа 
такие, что
.
Доказательство. Пусть
По лемме 1.1.
,
при
.
Докажем, что аналогичная оценка верна и при всех
.
Действительно, поскольку
,
то 
.
Записывая теперь аналогичную оценку для произвольного k, получим:
при всех
Положив далее
, 
получим:
то есть
,
или
,
где 
Доказательство теоремы 1.1.
Положим
(1.1)
Очевидно, что функция δ измерима и ограничена. Действительно,
,
поэтому, интегрируя по отрезку 
, получим:
,
, или 
.
Из равенства (1.1) непосредственно следует, что
.
Преобразуем последний интеграл:
.
Учитывая равенства
имеем:
Положив далее
получим нужное представление, причем
(1.2)
В дальнейшем положим
(1.3)
Очевидно, что
,
при этом 
Следствие 1.1. Пусть
Тогда при 
справедлива оценка
.
Доказательство. Из оценок (1.2), (1.3) имеем
то есть
.
Аналогично, учитывая ограниченность функции ε снизу и оценку (1.2), получим
, 
.