Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СХОДИМОСТЬ

Арзуманян А.Г. 1 Рамазанов Х.М. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
В данной статье будут описаны некоторые приемы и методы для того, чтобы найти и вычислить пределы числовых последовательностей и функций. В статье дается четкое определение числовой последовательности, после чего наглядно рассматривается на примерах. Также проведен анализ элементов последовательности и выяснен общий вид элементов последовательности. Доказано, что число один является пределом последовательности, что означает указать закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в ε-окрестности этого числа. Выражение которое мы получили в данной статье, является искомым законом, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер начиная с которого элементы последовательности будут лежать в ε окрестности этого числа.
Kлючевые слова: числовая последовательность
комплексные числа
действительные числа
предел числовой последовательности
элементы последовательности
1. Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа / Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета «Аграрная наука – Северо-Кавказскому региону». – 2012. – С. 280–283.
2. Бондаренко Д.В., Бражнев С.М., Литвин Д.Б., Варнавский А.А. Метод повышения точности измерения векторных величин // Наука Парк. – 2013. № 6 (16). – С. 66–69.
3. Гулай Т.А., Литвин Д.Б., Попова С.В., Мелешко С.В. Прогнозирование в регрессионном анализе при построении статистических моделей экономических задач с помощью программы Microsoft excel. // Экономика и предпринимательство. – 2017. № 8–2 (85–2). – С. 688–692.
4. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 8–2. – С. 178–179.
5. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Совершенствование экономических механизмов для решения проблем экологической безопасности. // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона. II Международная научно-практическая конференция. – 2013. – С. 68–71.
6. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Жукова В.А., Мамаев И.И. Модель экономического роста с распределенным запаздыванием в инвестиционной сфере // Вестник АПК Ставрополья. – 2017. – № 2 (26). – С. 225–228.
7. Литвин Д.Б., Шепеть И.П. Моделирование роста производства с учетом инвестиций и выбытием фондов // Социально-экономические и информационные проблемы устойчивого развития региона: Международная научно-практическая конференция. -2015. – С. 114–116.
8. Литвин Д.Б., Шепеть И.П., Бондарев В.Г., Литвина Е.Д. Применение дифференциального исчисления функций нескольких переменных к разработке алгоритма определения координат объекта // Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона: Материалы Ежегодной 78-й научно-практической конференции, 2014. – С. 242–246.
9. Роговая Н.А., Шайтор А.К., Литвин Д.Б. Качество образования и один из путей его повышения // Инновационные направления развития в образовании, экономике, технике и технологиях. Международная научно-практическая конференция: сборник статей в 2 ч. / под общей редю В.Е. Жидкова, 2014. – С. 169–173.

Числовой последовательностью называется такое множество чисел действительных и комплексных, для которых задано взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел [4,9].

Примеры и обозначения. Множество чисел: 1,4–5,3,5… можно рассматривать как числовую последовательность, если пронумеровать элементы этого множества, например

ar1.wmf

Все множество обозначается:

ar2.wmf.

В рассмотренном выше примере множество – просто набор цифр «с потолка». В математическом анализе, как правило, работают с такими последовательностями, в которых можно задать общий член последовательности, т.е. закон, по которому, зная номер элемента, можно вычислить сам элемент [5,10].

Рассмотрим пример. Пусть известны первые несколько членов последовательности ar3.wmf

Выяснить вид общего члена этой последовательности.

Решение. Проведем анализ имеющихся элементов:

а) элементы представляют собой дробь, т.е. общий вид будет

ar4.wmf;

б) в числителе всех элементов стоит 1, т.е. общий вид будет

ar5.wmf;

в) знаки чередуются начиная с «+», т.е. общий вид будет

ar6.wmf;

г) в знаменателях стоят степени двойки, начиная с первой, т.е. общий вид будет

ar7.wmf.

Для точности результата сделаем проверку. Вычислим третий элемент последовательности

ar8.wmf.

Вывод. Общий вид элементов последовательности:

ar9.wmf,

где ar10.wmf.

Элементы числовой последовательности действительных чисел удобно изображать на числовой прямой, при этом они могут быть расположены на ней хаотично (не подчинено никакому закону или правилу) или упорядоченно [1, 7].

Они могут стремиться к какому-то числу. Т.е. с возрастанием номера элемент становится все ближе и ближе к какому-то числу.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности ar11.wmf если для любого числа ar12.wmf существует такой номер N, зависящий от ar13.wmf, что, начиная с этого номера все элементы последовательности удалены от А не более чем на ε (принадлежат ε-окрестности числа А). И обозначается ar16.wmf [2, 6].

Замечание. В математике общепринятыми считаются обозначения:

1) ar17.wmf, заменяет словосочетание «для любого».

2) ar18.wmf , заменяет слово «существует».

Пример. Доказать, что пределом последовательности

ar19.wmf

при стремлении n к бесконечности является

ar21.wmf.

Доказательство. Доказать, что число является пределом последовательности, что означает указать закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности в ε окрестности этого числа.

Итак, требуется выполнение неравенства

ar24.wmf.

Подставим выражение для общего члена последовательности и значение предела из условия этой задачи

ar25.wmf

Т.к. ar26.wmf (т.е. положительное), то можно раскрыть модуль

ar27.wmf.

Выразим n из полученного неравенства:

ar28.wmf

Cледующее мы приравняем

ar29.wmf.

Полученное выражение и есть искомый закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в ε-окрестности этого числа [3].

Теперь подробнее:

а) выбираем произвольное ε.

б) подставляем его в выражение

ar30.wmf

и находим значение N.

в) для любого ar31.wmf будет верно неравенство

ar32.wmf

потому, что правая часть неравенства

ar33.wmf

и есть значение, которому присвоено N.

г) а неравенство ar34.wmf равносильно неравенству

ar35.wmf

(это оно же, только преобразованное), т.е. для любого числа ε можно указать такой номер N, что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на ε, а значит 1 является пределом последовательности [8].

Пример. Известно, что

ar37.wmf.

Требуется найти N для

ar38.wmf.

Решение. В предыдущем примере была найдена функциональная зависимость между N и ε:

ar40.wmf

а) ar41.wmf,

ar42.wmf,

т.е., начиная с 10-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,1.

Tо есть начиная с 100-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,01.

в) ar43.wmf

ar44.wmf,

т.е., начиная с 1000-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,001.

Вывод: при проведении анализа элементов последовательности мы выяснили общий вид элементов последовательности, и доказали, что для любого числа ε можно указать такой номер N , что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на ε, а значит, 1 является пределом последовательности.


Библиографическая ссылка

Арзуманян А.Г., Рамазанов Х.М. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СХОДИМОСТЬ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18196 (дата обращения: 14.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074