Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

NUMERICAL SEQUENCES AND THEIR CONVERGENCE

Arzumanyan A.G. 1 Ramazanov K.M. 1
1 Stavropol State Agrarian University
In this article some techniques and methods will be described in order to find and calculate the limits of numerical sequences and functions. In the article we give a clear definition of the numerical sequence, after which we clearly see by examples. We will also analyze the elements of the sequence and find out the general view of the elements of the sequence. Let us prove that the number one is the limit of a sequence, which means to indicate the law by which, by choosing an arbitrary one ε, one can find the number starting from which the elements of the sequence lie in the ε neighborhood of this number. The expression that we obtained in this article is the desired law, by which, by choosing an arbitrary one ε, one can find the number that is the least from which the elements of the sequence lie in the ε neighborhood of this number.
numerical sequence
complex numbers
real numbers
limit of a numerical sequence
elements of a sequence

Числовой последовательностью называется такое множество чисел действительных и комплексных, для которых задано взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел [4,9].

Примеры и обозначения. Множество чисел: 1,4–5,3,5… можно рассматривать как числовую последовательность, если пронумеровать элементы этого множества, например

ar1.wmf

Все множество обозначается:

ar2.wmf.

В рассмотренном выше примере множество – просто набор цифр «с потолка». В математическом анализе, как правило, работают с такими последовательностями, в которых можно задать общий член последовательности, т.е. закон, по которому, зная номер элемента, можно вычислить сам элемент [5,10].

Рассмотрим пример. Пусть известны первые несколько членов последовательности ar3.wmf

Выяснить вид общего члена этой последовательности.

Решение. Проведем анализ имеющихся элементов:

а) элементы представляют собой дробь, т.е. общий вид будет

ar4.wmf;

б) в числителе всех элементов стоит 1, т.е. общий вид будет

ar5.wmf;

в) знаки чередуются начиная с «+», т.е. общий вид будет

ar6.wmf;

г) в знаменателях стоят степени двойки, начиная с первой, т.е. общий вид будет

ar7.wmf.

Для точности результата сделаем проверку. Вычислим третий элемент последовательности

ar8.wmf.

Вывод. Общий вид элементов последовательности:

ar9.wmf,

где ar10.wmf.

Элементы числовой последовательности действительных чисел удобно изображать на числовой прямой, при этом они могут быть расположены на ней хаотично (не подчинено никакому закону или правилу) или упорядоченно [1, 7].

Они могут стремиться к какому-то числу. Т.е. с возрастанием номера элемент становится все ближе и ближе к какому-то числу.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности ar11.wmf если для любого числа ar12.wmf существует такой номер N, зависящий от ar13.wmf, что, начиная с этого номера все элементы последовательности удалены от А не более чем на ε (принадлежат ε-окрестности числа А). И обозначается ar16.wmf [2, 6].

Замечание. В математике общепринятыми считаются обозначения:

1) ar17.wmf, заменяет словосочетание «для любого».

2) ar18.wmf , заменяет слово «существует».

Пример. Доказать, что пределом последовательности

ar19.wmf

при стремлении n к бесконечности является

ar21.wmf.

Доказательство. Доказать, что число является пределом последовательности, что означает указать закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности в ε окрестности этого числа.

Итак, требуется выполнение неравенства

ar24.wmf.

Подставим выражение для общего члена последовательности и значение предела из условия этой задачи

ar25.wmf

Т.к. ar26.wmf (т.е. положительное), то можно раскрыть модуль

ar27.wmf.

Выразим n из полученного неравенства:

ar28.wmf

Cледующее мы приравняем

ar29.wmf.

Полученное выражение и есть искомый закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в ε-окрестности этого числа [3].

Теперь подробнее:

а) выбираем произвольное ε.

б) подставляем его в выражение

ar30.wmf

и находим значение N.

в) для любого ar31.wmf будет верно неравенство

ar32.wmf

потому, что правая часть неравенства

ar33.wmf

и есть значение, которому присвоено N.

г) а неравенство ar34.wmf равносильно неравенству

ar35.wmf

(это оно же, только преобразованное), т.е. для любого числа ε можно указать такой номер N, что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на ε, а значит 1 является пределом последовательности [8].

Пример. Известно, что

ar37.wmf.

Требуется найти N для

ar38.wmf.

Решение. В предыдущем примере была найдена функциональная зависимость между N и ε:

ar40.wmf

а) ar41.wmf,

ar42.wmf,

т.е., начиная с 10-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,1.

Tо есть начиная с 100-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,01.

в) ar43.wmf

ar44.wmf,

т.е., начиная с 1000-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,001.

Вывод: при проведении анализа элементов последовательности мы выяснили общий вид элементов последовательности, и доказали, что для любого числа ε можно указать такой номер N , что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на ε, а значит, 1 является пределом последовательности.