Числовой последовательностью называется такое множество чисел действительных и комплексных, для которых задано взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел [4,9].
Примеры и обозначения. Множество чисел: 1,4–5,3,5… можно рассматривать как числовую последовательность, если пронумеровать элементы этого множества, например
Все множество обозначается:
.
В рассмотренном выше примере множество – просто набор цифр «с потолка». В математическом анализе, как правило, работают с такими последовательностями, в которых можно задать общий член последовательности, т.е. закон, по которому, зная номер элемента, можно вычислить сам элемент [5,10].
Рассмотрим пример. Пусть известны первые несколько членов последовательности 
Выяснить вид общего члена этой последовательности.
Решение. Проведем анализ имеющихся элементов:
а) элементы представляют собой дробь, т.е. общий вид будет
;
б) в числителе всех элементов стоит 1, т.е. общий вид будет
;
в) знаки чередуются начиная с «+», т.е. общий вид будет
;
г) в знаменателях стоят степени двойки, начиная с первой, т.е. общий вид будет
.
Для точности результата сделаем проверку. Вычислим третий элемент последовательности
.
Вывод. Общий вид элементов последовательности:
,
где 
.
Элементы числовой последовательности действительных чисел удобно изображать на числовой прямой, при этом они могут быть расположены на ней хаотично (не подчинено никакому закону или правилу) или упорядоченно [1, 7].
Они могут стремиться к какому-то числу. Т.е. с возрастанием номера элемент становится все ближе и ближе к какому-то числу.
Определение. Число А называется пределом числовой последовательности 
если для любого числа 
существует такой номер N, зависящий от 
, что, начиная с этого номера все элементы последовательности удалены от А не более чем на ε (принадлежат ε-окрестности числа А). И обозначается 
[2, 6].
Замечание. В математике общепринятыми считаются обозначения:
1) 
, заменяет словосочетание «для любого».
2) 
, заменяет слово «существует».
Пример. Доказать, что пределом последовательности
при стремлении n к бесконечности является
.
Доказательство. Доказать, что число является пределом последовательности, что означает указать закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности в ε окрестности этого числа.
Итак, требуется выполнение неравенства
.
Подставим выражение для общего члена последовательности и значение предела из условия этой задачи
Т.к. 
(т.е. положительное), то можно раскрыть модуль
.
Выразим n из полученного неравенства:
Cледующее мы приравняем
.
Полученное выражение и есть искомый закон, по которому, выбрав произвольное ε, можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в ε-окрестности этого числа [3].
Теперь подробнее:
а) выбираем произвольное ε.
б) подставляем его в выражение
и находим значение N.
в) для любого 
будет верно неравенство
потому, что правая часть неравенства
и есть значение, которому присвоено N.
г) а неравенство 
равносильно неравенству
(это оно же, только преобразованное), т.е. для любого числа ε можно указать такой номер N, что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на ε, а значит 1 является пределом последовательности [8].
Пример. Известно, что
.
Требуется найти N для
.
Решение. В предыдущем примере была найдена функциональная зависимость между N и ε:
а) 
,
,
т.е., начиная с 10-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,1.
Tо есть начиная с 100-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,01.
в) 
,
т.е., начиная с 1000-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,001.
Вывод: при проведении анализа элементов последовательности мы выяснили общий вид элементов последовательности, и доказали, что для любого числа ε можно указать такой номер N , что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на ε, а значит, 1 является пределом последовательности.