Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Евдокимова И.С. 1

---

1 ФГБОУ ВО "Смоленский государственный университет"

Умение интегрировать функции связано не только с вычислением интеграла, но и с умением применять соответствующие знания к решению прикладных задач. В данной работе приведены задачи на применение криволинейных интегралов первого и второго рода. При написании работы важно было разобрать основные виды прикладных задач, показать способы решения задач, дать графическое сопровождение задачи, что позволяет более точно представить объект исследования и быстро найти необходимый путь решения. При этом графическое сопровождение задачи делает ее не только более видимой для решения, но и более интересной, ведь достаточно часто оказывается трудным найти решение еще и потому, что нет четкого представления о той фигуре, с которой связано условие задачи. В статье показано, что интегрирование в математическом анализе – не просто обратная операция по отношению к дифференцированию, а метод, позволяющий получить эффективное решение многих задач. Приведенные в статье задачи расширяют круг задач, решаемых с помощью криволинейных интегралов, повышают интерес к изучаемой теме.

Статья в формате PDF

168 KB

криволинейный интеграл

интеграл

винтовая линия

масса

работа

индукция

магнитное поле.

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/Берман Г.Н.– М.: Наука, 1969. – 440 стр.

2. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа для втузов: Учебник для вузов./ Бермант А. Ф., Араманович И. Г.– М.: Наука, 1966. – 736 с.

3. Бохан К.А. Курс математического анализа. Т. II./Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В.– М.: издательство «Просвещение», 1966.

4. Будаев В.Д. Математический анализ для студентов-физиков. Часть 2. Дифференциальное и интегральное исчисления и их приложения/ Будаев В.Д., Василенков В.Д. – Смоленск: СГПИ, 1997.

5. Виленкин Н.Я. Задачник по курсу математического анализа. Ч. II.Под ред. Н.Я. Виленкина. Учебн. пособие для студентов заоч. отд-ний физ-мат. Фак. Пединститутов./Виленкин. Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А.-М.,«Просвещение», 1971. 336 с. Перед загл. Авт. и др.

6. Ильин В.А. Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть II: Учеб.: Для вузов. – 5-е изд./ Ильин В.А., Поздняк Э.Г. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 464 с. – (Курс высшей математики и математической физики).

7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. II: Учебник. – 7-е изд./ Фихтенгольц Г.М.- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 440 с.

Теория криволинейных интегралов представляет собой раздел математического анализа, где происходит обощение методов интегрального исчисления на вычисление интегралов по областям, которые расположены на плоскости или в пространстве.

Именно с помощью криволинейных интегралов можно высчитать длину кривой, статические моменты, координаты центра тяжести, площади плоских фигур и цилиндрической поверхности, работу переменной силы и многое другое. Поскольку приложения криволинейных интегралов очень обширны, можно сделать вывод о том, что выбранная тема является актуальной [5].

Раздел «Криволинейные интегралы» является одним из основных в курсе математического анализа, порой трудно поддающимся для глубокого усвоения и понимания изучаемого материала.

Рассмотрим ряд задач, имеющих прикладной характер:

1. Вычислить момент инерции относительно аппликаты одного витка однородной винтовой линии (Рис. 1)

Решение: По формулам, получаем

Рис. 1

Решение: Данная задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода Используя формулу вычисления момента инерции получим:

где .

2. Вычислить ньютонов потенциал окружности массой в точке плотность в любой точке окружности пропорциональна расстоянию от этой точки до оси [3].

Решение: Воспользуемся полярными координатами (рис. 2):

Рис. 2

Получаем .

Плотность линии в точке Очевидно, что нам надо подсчитать коэффициент . Вычислим массу окружности:

По формуле вычисления потенциала в некоторой точке :

получим:

Произведем замену: .

Если тогда , а если , то . Подставив все наши преобразования в формулу:

3. Вычислить работу векторного поля

вдоль правой части кривой от точки до точки [6].

Решение: Преобразуем уравнение кривой . Данное уравнение задает окружность с радиусом , с центром в точке . Точки и лежат на этой окружности, причем противоположно, на диаметре. Обозначим путь , который обозначает правую дугу окружности, которая соединяет точки и . А путь – отрезок прямой Тогда необходимая нам область – это полукруг радиуса .

Зададим путь : где изменяется от 1 до 3. Получаем:

.

Если – наша область, то формулу нахождения работы можно записать так:

4. Найти индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии

от оси бесконечно длинного проводника с током

Решение: Выведем для начала нашу формулу в общем виде. Рассмотрим круговой контур произвольного радиуса (рис.3) , который расположен перпендикулярно проводнику с током

Рис. 3

Так как магнитное поле направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение , равно Воспользуемся формулой криволинейного интеграла:

. В результате получим: или , где относительная магнитная проницаемость среды,

магнитная постоянная. Подставляя данные нашей задачи, получим

5. Рассчитать значение электрического поля и электродвижущей силы , которые возникают в кольце у летчика самолета в магнитном поле Земли, если летчик разгонит самолет до скорости 864 км/ч.

Решение: Рассчитаем для начала значение электрического поля. Образованное электрическое поле имеет постоянную амплитуду в силу симметрии абсолютно в любой точке кольца. Данное электрическое поле направлено к кольцу по касательной в любой его точке. Вычислим криволинейный интеграл:

Очевидно, что для вычисления электродвижущей силы, необходимо найти электрическое поле. По закону Фарадея Появляется изменение магнитного потока , которое проходит через кольцо, так как проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли. Сделаем предположение, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Изменение магнитного потока за равно где скорость самолета. Подставляя в формулу, полученную выше, получаем:

Все формулу найдены, теперь осталось только подсчитать:

6. В деревне Черныши Краснинского района трактористу Анатолию надо вспахать борозду, чтобы засеять ее морковью. Сложность работы Анатолия заключается в том, что борозда неровная и через равные участки длиной 5 м ему попадаются сильные насыпи одинакового размера в форме циклоиды, высотой 65 см, причем их 8 штук. За сколько примерно времени тракторист вспашет борозду, если скорость его рабочей машины 7,2 ?

Решение: Для решения данной задачи необходимо найти длину нашей борозды (рис. 4). Найдем длину нашей борозды, но для начала найдем длину одной насыпи.

Рис. 4

Зададим нашу линию параметрически:

,где Будем использовать формулу

Вычислим производные:

Высота нашей насыпи 0,65 м, значит поэтому длина нашей насыпи м.

Так как всего наших насыпей 8 штук, то значит длина всех неровностей 20,8м.

Но наша борозда состоит и из ровных участков, длиной 5м (рис. 5), их 9 штук:

Рис.5

Подсчитаем общую длину борозды:

Переведем

Осталось подсчитать время

В статье показано, что интегрирование в математическом анализе – не просто обратная операция по отношению к дифференцированию, а метод, позволяющий получить эффективное решение многих задач. Приведенные в статье задачи расширяют круг задач, решаемых с помощью криволинейных интегралов, повышают интерес к изучаемой теме.

Библиографическая ссылка