Теория криволинейных интегралов представляет собой раздел математического анализа, где происходит обощение методов интегрального исчисления на вычисление интегралов по областям, которые расположены на плоскости или в пространстве.
Именно с помощью криволинейных интегралов можно высчитать длину кривой, статические моменты, координаты центра тяжести, площади плоских фигур и цилиндрической поверхности, работу переменной силы и многое другое. Поскольку приложения криволинейных интегралов очень обширны, можно сделать вывод о том, что выбранная тема является актуальной [5].
Раздел «Криволинейные интегралы» является одним из основных в курсе математического анализа, порой трудно поддающимся для глубокого усвоения и понимания изучаемого материала.
Рассмотрим ряд задач, имеющих прикладной характер:
1. Вычислить момент инерции относительно аппликаты одного витка однородной винтовой линии (Рис. 1) 
Решение: По формулам, получаем 
Рис. 1
Решение: Данная задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода 
Используя формулу вычисления момента инерции получим:
где 
.
2. Вычислить ньютонов потенциал окружности 
массой 
в точке 
плотность в любой точке окружности пропорциональна расстоянию от этой точки до оси 
[3].
Решение: Воспользуемся полярными координатами (рис. 2):
Рис. 2
Получаем 
.
Плотность линии в точке 
Очевидно, что нам надо подсчитать коэффициент 
. Вычислим массу окружности:
По формуле вычисления потенциала в некоторой точке 
:
получим: 
Произведем замену: 
.
Если 
тогда 
, а если 
, то 
. Подставив все наши преобразования в формулу:
3. Вычислить работу векторного поля
вдоль правой части кривой 
от точки 
до точки 
[6].
Решение: Преобразуем уравнение кривой . Данное уравнение 
задает окружность с радиусом 
, с центром в точке 
. Точки 
и 
лежат на этой окружности, причем противоположно, на диаметре. Обозначим путь 
, который обозначает правую дугу окружности, которая соединяет точки и . А путь 
– отрезок прямой 
Тогда необходимая нам область – это полукруг радиуса .
Зададим путь : 
где 
изменяется от 1 до 3. Получаем:
. 
Если 
– наша область, то формулу нахождения работы можно записать так:
4. Найти индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии
от оси бесконечно длинного проводника с током 
Решение: Выведем для начала нашу формулу в общем виде. Рассмотрим круговой контур произвольного радиуса (рис.3) 
, который расположен перпендикулярно проводнику с током 
Рис. 3
Так как магнитное поле направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение 
, 
равно 
Воспользуемся формулой криволинейного интеграла:
. В результате получим: 
или 
, где 
относительная магнитная проницаемость среды,
магнитная постоянная. Подставляя данные нашей задачи, получим 
5. Рассчитать значение электрического поля 
и электродвижущей силы 
, которые возникают в кольце 
у летчика самолета в магнитном поле Земли, если летчик разгонит самолет до скорости 864 км/ч.
Решение: Рассчитаем для начала значение электрического поля. Образованное электрическое поле имеет постоянную амплитуду в силу симметрии абсолютно в любой точке кольца. Данное электрическое поле направлено к кольцу по касательной в любой его точке. Вычислим криволинейный интеграл: 
Очевидно, что для вычисления электродвижущей силы, необходимо найти электрическое поле. По закону Фарадея 
Появляется изменение магнитного потока 
, которое проходит через кольцо, так как проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли. Сделаем предположение, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Изменение магнитного потока за 
равно 
где 
скорость самолета. Подставляя в формулу, полученную выше, получаем:
Все формулу найдены, теперь осталось только подсчитать:
6. В деревне Черныши Краснинского района трактористу Анатолию надо вспахать борозду, чтобы засеять ее морковью. Сложность работы Анатолия заключается в том, что борозда неровная и через равные участки длиной 5 м ему попадаются сильные насыпи одинакового размера в форме циклоиды, высотой 65 см, причем их 8 штук. За сколько примерно времени тракторист вспашет борозду, если скорость его рабочей машины 7,2 
?
Решение: Для решения данной задачи необходимо найти длину нашей борозды (рис. 4). Найдем длину нашей борозды, но для начала найдем длину одной насыпи.
Рис. 4
Зададим нашу линию параметрически:
,где 
Будем использовать формулу 
Вычислим производные:
Высота нашей насыпи 0,65 м, значит 
поэтому длина нашей насыпи 
м.
Так как всего наших насыпей 8 штук, то значит длина всех неровностей 20,8м.
Но наша борозда состоит и из ровных участков, длиной 5м (рис. 5), их 9 штук:
Рис.5
Подсчитаем общую длину борозды: 
Переведем 
Осталось подсчитать время 
В статье показано, что интегрирование в математическом анализе – не просто обратная операция по отношению к дифференцированию, а метод, позволяющий получить эффективное решение многих задач. Приведенные в статье задачи расширяют круг задач, решаемых с помощью криволинейных интегралов, повышают интерес к изучаемой теме.