Рассмотрим нелинейную задачу для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной
(1)
где функции и предполагается, что функция
непрерывна, функция
удовлетворяет условию Каратеодори.
Пусть – пространство суммируемых в степени
на отрезке
функций,
– пространство измеримых ограниченных в существенном на отрезке
функций,
- пространство непрерывных на отрезке
функций,
- пространство абсолютно непрерывных на отрезке
функций с нормой:
. Под решением понимается такой элемент пространства
, который почти всюду на отрезке
удовлетворяет уравнению и начальному условию задачи (1).
В работе доказывается существование решения задачи (1) в шаре радиуса с центром в точке
пространства
. С помощью метода явной линеаризации задача (1) сводится к квазилинейной задаче с обратимым линейным оператором. В последующем, полученная задача заменяется эквивалентным ей операторным уравнением, к которому применяется теорема типа Лере-Шаудера [10]. При этом решение задачи (1) ищется в предположении, что существует функция
, удовлетворяющая условию: для каждого фиксированного
на искомом шаре с центром в точке
пространства
выполняется неравенство
.
Случай задачи (1) с периодическим краевым условием рассматривался ранее в работе [6].
Некоторые математические модели реальных процессов приводят к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной и, в частности, к задаче (1). Обычно при исследовании нелинейных задач, в том числе и задачи (1), используется явная или неявная линеаризация. В частности, в работах [3,5,8] используется редукция нелинейной задачи к некоторой вспомогательной квазилинейной, к которой применяются известные схемы исследования на разрешимость квазилинейных или резонансных краевых задач. К числу методов, использующих неявную линеаризацию нелинейных задач можно отнести метод Ньютона-Канторовича, метод применения теорем о неявной функции, методы теории нелинейных фредгольмовых операторов. В этом случае нелинейный оператор аппроксимируется своей производной [1,2,4].
Обозначим через , при этом будем предполагать, что функции
на отрезке
. Существование такой функции позволяет задачу (1) переписать в виде
(2)
Обозначим через и
пространства
и
соответственно. Задачу (2) в пространстве
запишем в виде операторного уравнения
,
где операторы ,
определены равенствами
,
,
.
Так как оператор является обратимым на пространстве
, то краевая задача (2) эквивалентна интегральному уравнению
. (3)
Соответствующее операторное уравнение тогда запишется в виде
,
где,
- обратный к
оператор.
Ниже под и
понимается замкнутый шар и сфера радиусов
с центрами в нуле.
Для нахождения условий существования решения уравнения (3) воспользуемся теоремой типа Лере – Шаудера [10] из книги [9, стр.406]:
Теорема 1. Пусть оператор действует из шара
в
и вполне непрерывен. Если
для всех
с
, то оператор
имеет в
неподвижную точку.
Для доказательства полной непрерывности произведения рассмотрим расширение оператора
на пространство
, то есть будем считать, что оператор
действует из пространства
в
. Тогда оператор
вполне непрерывен, а, следовательно, произведение
также вполне непрерывно. Не трудно показать, что
.
Докажем существование решения уравнения на пространстве
, содержащегося в пространстве
. Тогда, вследствие непрерывности оператора
, правая часть данного уравнения принадлежит
и, следовательно, само решение
также принадлежит
. Это доказывает существование решения исходной задачи (1) в пространстве
. Подобный подход использовался в работе [7].
Для нахождения эффективных условий разрешимости, ценим оператор в уравнении (3):
(где ,
).
Так как , где
, то условие Теоремы 1:
для всех
с
, примет вид
.
Из данного неравенства находим радиус шара , на котором существует решение уравнения (3):
.
Откуда следует, что если , то на сфере
радиуса
выполнены условия теоремы 1.
Таким образом, доказано утверждение о существовании решения краевой задачи (1):
Теорема 2. Пусть функция непрерывна, функция
удовлетворяет условию Каратеодори и существует функция
(
), удовлетворяющая условию:
для каждого фиксированного выполняется неравенство
.
Тогда если выполнены условия
1);
2) ,
где ,
,
,
то существует решение задачи (1) на шаре с радиусом
.
Библиографическая ссылка
Колпаков И.Ю., Ефимов Н.А., Юдин Р.Ю. О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 5. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17798 (дата обращения: 18.02.2025).