Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

Колпаков И.Ю. 1, 2 Ефимов Н.А. 1 Юдин Р.Ю. 1
1 Пермский национальный исследовательский политехнический университет
2 Пермский государственный национальный исследовательский университет
В работе найдены условия разрешимости задачи Коши для одного дифференциального уравнения первого по-рядка, не разрешенного относительно производной. Построение математических моделей некоторых реальных процессов приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной и, в частности, к задаче, рассматриваемой в работе. Поэтому исследование таких задач является актуальным. С помощью метода явной линеаризации исходная задача сводится к квазилинейной краевой задаче, для доказательства существования решения которой применяется теорема типа Лере-Шаудера. В работе доказывается существование решения рассматриваемой задачи на шаре радиуса R с центром в нуле пространства абсолютно непрерывных функций. Результаты работы могут быть использованы при исследовании краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной.
задача коши
теорема лере-шаудера
существование решения
1. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи, пер. с англ., М., 1968. 184 с.
2. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера // УМН,1977. т.32, №4. С.3-54.
3. Диблик Й. Существование и единственность решения начальной краевой задачи для дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных // Деп. в ВИНИТИ. 1984, № 908-84.
4. Дмитриенко В.Т. Двухточечная краевая задача для дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев, 1982. С.47-58.
5. Елисеенко М.Н. О периодических решениях обыкновенного дифференциального уравне-ния второго порядка, не разрешенных относительно производных // Дифференциальные уравнения, 1985, т.21, №9. С. 1618-1621.
6. Колпаков И.Ю. О существовании периодического решения краевой задачи для одного дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно произ-водной // Современные проблемы науки и образования, 2014, №3. http://www.science-education.ru/117-13237.
7. Максимов В.П. Вопросы общей теории ФДУ: дис. докт. физ.-мат. наук. - Пермь, 1984. – 254 с.
8. Просенюк Л.Г. Существование и асимптотика О-решений дифференциального уравне-ния, не разрешенного относительно производной // Украинский математический журнал, 1987. т.39, №6. С.796-799.
9. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, 488 с.
10. J. Leray – J. Schauder // Ann. Ecole Norm. Sup. 1934. Vol. 51, № 3. P. 45–78.

Рассмотрим нелинейную задачу для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной

(1)

где функции и предполагается, что функция непрерывна, функция удовлетворяет условию Каратеодори.

Пусть – пространство суммируемых в степени на отрезке функций, – пространство измеримых ограниченных в существенном на отрезке функций, - пространство непрерывных на отрезке функций, - пространство абсолютно непрерывных на отрезке функций с нормой: . Под решением понимается такой элемент пространства , который почти всюду на отрезке удовлетворяет уравнению и начальному условию задачи (1).

В работе доказывается существование решения задачи (1) в шаре радиуса с центром в точке пространства . С помощью метода явной линеаризации задача (1) сводится к квазилинейной задаче с обратимым линейным оператором. В последующем, полученная задача заменяется эквивалентным ей операторным уравнением, к которому применяется теорема типа Лере-Шаудера [10]. При этом решение задачи (1) ищется в предположении, что существует функция , удовлетворяющая условию: для каждого фиксированного на искомом шаре с центром в точке пространства выполняется неравенство

.

Случай задачи (1) с периодическим краевым условием рассматривался ранее в работе [6].

Некоторые математические модели реальных процессов приводят к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной и, в частности, к задаче (1). Обычно при исследовании нелинейных задач, в том числе и задачи (1), используется явная или неявная линеаризация. В частности, в работах [3,5,8] используется редукция нелинейной задачи к некоторой вспомогательной квазилинейной, к которой применяются известные схемы исследования на разрешимость квазилинейных или резонансных краевых задач. К числу методов, использующих неявную линеаризацию нелинейных задач можно отнести метод Ньютона-Канторовича, метод применения теорем о неявной функции, методы теории нелинейных фредгольмовых операторов. В этом случае нелинейный оператор аппроксимируется своей производной [1,2,4].

Обозначим через , при этом будем предполагать, что функции на отрезке . Существование такой функции позволяет задачу (1) переписать в виде

(2)

Обозначим через и пространства и соответственно. Задачу (2) в пространстве запишем в виде операторного уравнения

,

где операторы , определены равенствами

, ,

.

Так как оператор является обратимым на пространстве , то краевая задача (2) эквивалентна интегральному уравнению

. (3)

Соответствующее операторное уравнение тогда запишется в виде

,

где, - обратный к оператор.

Ниже под и понимается замкнутый шар и сфера радиусов с центрами в нуле.

Для нахождения условий существования решения уравнения (3) воспользуемся теоремой типа Лере – Шаудера [10] из книги [9, стр.406]:

Теорема 1. Пусть оператор действует из шара в и вполне непрерывен. Если для всех с , то оператор имеет в неподвижную точку.

Для доказательства полной непрерывности произведения рассмотрим расширение оператора на пространство , то есть будем считать, что оператор действует из пространства в . Тогда оператор вполне непрерывен, а, следовательно, произведение также вполне непрерывно. Не трудно показать, что .

Докажем существование решения уравнения на пространстве , содержащегося в пространстве . Тогда, вследствие непрерывности оператора , правая часть данного уравнения принадлежит и, следовательно, само решение также принадлежит . Это доказывает существование решения исходной задачи (1) в пространстве . Подобный подход использовался в работе [7].

Для нахождения эффективных условий разрешимости, ценим оператор в уравнении (3):

(где , ).

Так как , где , то условие Теоремы 1: для всех с , примет вид

.

Из данного неравенства находим радиус шара , на котором существует решение уравнения (3):

.

Откуда следует, что если , то на сфере радиуса выполнены условия теоремы 1.

Таким образом, доказано утверждение о существовании решения краевой задачи (1):

Теорема 2. Пусть функция непрерывна, функция удовлетворяет условию Каратеодори и существует функция (), удовлетворяющая условию:

для каждого фиксированного выполняется неравенство

.

Тогда если выполнены условия

1);

2) ,

где , , ,

то существует решение задачи (1) на шаре с радиусом .


Библиографическая ссылка

Колпаков И.Ю., Ефимов Н.А., Юдин Р.Ю. О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 5. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17798 (дата обращения: 30.11.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074