Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Игнатенко В.С. 1 Минаев Р.М. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Литвин Д.Б., Цыплакова О.Н., Родина Е.В. Моделирование экономических процессов в пространстве состояний // Теоретические и прикладные аспекты современной науки: сборник статей Международной научно-практической конференции / Отв. за вып. А.Г. Иволга; ФБГОУ ВПО Ставропольский государственный аграрный университет, 2014. – С. 62-66.
2. Бондаренко В. А., Цыплакова О. Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: матер. 76-й научно-практической конференции. – Ставрополь: Альфа-Принт, 2012.
3. Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н., Родина Е.В. Использование компьютерных математических систем в обучении математике/Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: Сборник материалов II Международной научно-практической конференции / СтГАУ. – Ставрополь: Бюро Новостей, СтГАУ, 2013. – С. 46-50.
4. Долгополова А.Ф., Цыплакова О.Н. Последовательность проведения регрессионного анализа и его применение в экономике // Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита: материалы Ежегод. 75-й науч.-практ. конф. (Ставрополь, 22-24 марта 2011 г.) / СтГАУ. Ставрополь, 2011. – С. 127-129.
5. Цыплакова О.Н., Салпагарова Ф.А.А., Богданова А.А. Экономико-математическое моделирование в исследовании объектов // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 180-181.
6. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 8-2. – С. 178-179.

Проанализируем методы линейных дифференциальных уравнений применяемых в исследовании различных макроэкономических моделей, где в роли независимой переменной выступает t. Эффективность данных моделей обусловлена использованием эволюции какой-либо экономической системы в длительных интервалах времени. Более того, данные системы являются предметом изучения изменения динамики в экономике.

Под экономической системой понимается совокупность хозяйственных единиц – организации и предприятии связанных между собой устойчивыми производственными связями.

Экономическая система будет являться динамической при условии наличия в этой системе так называемых динамических элементов.

Выход в любой момент времени t динамического элемента системы напрямую зависит от значений выходов и входов в случившиеся моменты времени т.е. t – 1, t – 2, и так до t – n.

Рассмотрим динамические экономические системы в качестве линейных систем при условии непрерывности времени. Таким образом, элемент динамической системы порядка n будет иметь следующий вид:

prakt335.wmf. (1)

На практике лучше всего применяются элементы нулевого (к примеру мультипликатор), первого и других порядков.

Переход экономической системы из одного равновесного состояния в другое является основным элементом в исследовании динамических процессов. В случае, когда подобный переход осуществляется в течении длительного периода времени, понятие экономического равновесия утрачивает заложенный в него смысл, следовательно возникает необходимость изучения непрерывного динамического процесса преобразования экономики. Для этого в качестве инструмента может быть использована теория дифференциальных уравнений. За основу будет взята динамическая модель Кейнса.

В модели Кейнса установлено, что ВВП prakt336.wmf следующего года равен валовому спросу текущего года. В свою очередь валовый спрос, включающий спрос на потребительские товары (C) и инвестиционные товары (I) напрямую зависит от ВВП текущего года т.е.:

prakt337.wmf. (2)

Из данной линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и постоянства спроса на товары следует соотношение:

prakt338.wmf, (3)

где C – это минимальный объем потребительского фонда, неизменяемый при увеличении роста национального дохода; prakt339.wmf – склонность к потреблению.

Данное соотношение действует при условии прерывности времени в один год, при прерывности ?t выражение будет иметь следующий вид

prakt340.wmf, (4)

где (1–С) – склонность к накоплению.

В рамках изучения динамики наиболее эффективно использовать непрерывное время, при условии применения формальной записи модели в виде дифференциального уравнения.

Проанализируем динамику перехода национального дохода в равновесное состояние, при этом применяя модель в форме дифференциального уравнения с непрерывным временем.

В ходе преобразований при условии prakt341.wmf получим следующее уравнение:

prakt342.wmf. (5)

Имеется, что общим решением неоднородного дифференциального уравнения является сумма какого-либо его частного и общего решения, которые относятся к однородному дифференциальному уравнению:

prakt343.wmf (6)

Частным решением уравнения (6) будет выступать стационарное решение.

prakt344.wmf. (7)

Рассмотрим следующее однородное дифференциальное уравнение:

prakt345.wmf. (8)

Данное уравнение с разделяющимися переменными, следовательно:

prakt346.wmf. (9)

После интегрирования обеих частей этого уравнения, получается:

prakt347.wmf, (10)

где c0>0

yo.o. =c0е–(1–с)t; prakt348.wmf. (11)

Изменение спроса на инвестиционные товары с I0 до I, причем I>I0, приводит к изменению значения ВВП от

prakt349.wmf,

до значения y=E, при этом

prakt350.wmf. (12)

Можно сделать вывод, что при любом исходном значении y0 национального дохода, вскоре его значение становится идентичным значению в состоянии равновесия yK. Для определения скорости перехода всостоянию равновесия используют коэффициент склонности к сбережению 1–c. Чем выше этот коэффициент, тем быстрее приближается значение национального дохода к равновесному.

При условии, что в начальный период времени y0>yE, в остальные периоды значение национального дохода будет превышать равновесный за все время при постоянном уровне инвестиций.

В другом случае, при исходном y0<yE, следующие значения национального дохода будут меньше равновесного за весь временной промежуток при постоянном уровне инвестиций.

Представление экономики как линейного динамического звена второго порядка в форме модели Самуэльсона-Хикса.

Добавим к динамической модели Кейнса акселератор. Выход и вход этой категории пропорциональны. В настоящей теории экономики часто встречается такое определение: «отношение прироста индуцированных подъемом производства инвестиций к вызвавшему его относительному приросту объема производства».

Инвестиции представляются следующим выражением:

prakt351.wmf, (13)

где r – коэффициент акселерации, приращение необходимости во вкладах при положительной динамике ВВП на единицу, 0 <r< 1.

prakt352.wmf, (14)

При подставлении полученного выражения в динамическую Модель Кейнса, получим:

prakt353.wmf, (15)

После преобразований:

prakt354.wmf (16)

Рассмотрим непрерывный интервал времени prakt355.wmf:

prakt356.wmf. (17)

Итогом вычислений является однородное линейное уравнение второго порядка. Общее решение неоднородного уравнения предстает суммой общего однородного и частного решений неоднородного уравнения.

Общее решение линейного однородного уравнения в виде:

prakt357.wmf. (18)

Здесь необходима замена prakt358.wmf, при которой:

prakt359.wmf. (19)

Общим решением однородного уравнения является линейная комбинация фундаментальных решений prakt360.wmf и prakt361.wmf:

prakt362.wmf. (20)

Частное решение неоднородного уравнения:

prakt363.wmf. (21)

А его общее решение:

prakt364.wmf. (22)

Частное стационарное решение в этом случае будет одинаковым с решением в модели Кейнса:

prakt365.wmf.

Если обратить внимание на незначительные отклонения от равновесной точки, заметно, что эта система непостоянно устойчива. Описываемая моделью Самуэльсона-Хикса экономика устойчива при 0<r<1 и неустойчива при r≥1.


Библиографическая ссылка

Игнатенко В.С., Минаев Р.М. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=15020 (дата обращения: 07.12.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674