Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

Галаян Д.В. 1 Онищенко Л.И. 1 Гулай Т.А. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: ACT: Астрель, 2006. – 301 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики. – М., 2007. – 145-187 с.
3. Музенитов Ш.А., Синельников М.Б., Музенитов Э.Ш. Математическая экономика. – Ставрополь, 2003. – 11-75 с.
4. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Совершенствование математической подготовки студентов аграрных вузов // Инновационные векторы современного образования, 2012. – С. 11-16.
5. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Донец З.Г. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования // Аграрная наука, творчество, рост: Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции / Отв. за вып. Башкатова Т.А., 2014. – С. 329-332.
6. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности разделов математических дисциплин, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. 2013. – № 1 (9). – С. 6–10.

Понятие предела несомненно занимает ключевое место в математике. Оно является основным понятием математического анализа, без которого невозможны многие экономические расчеты. Представление о понятии предела является очень древним, основанным на эмпирических исследованиях, а современная теория – результат систематизации и эволюции этих представлений. Такие математики древности, как Евклид и Аристотель, выдвигали идею существования предела. Но лишь спустя несколько столетий Ньютон обратил внимание на эту идею и ввел термин limes (предел).

Определение предела последовательности

Число a называется пределом последовательности prakt236.wmf, если по мере возрастания номера n член yn неограниченно приближается к a:

prakt237.wmf.

Теория пределов часто используется в различных экономических вычислениях, например, в подсчитывании сложных процентов.

В основном практических расчетах применяют дискретные проценты (начисляемые с определённой периодичностью). Время – дискретная переменная. В некоторых случаях возникает необходимость в применении непрерывных процентов (например, в доказательствах расчётов, в которых происходят непрерывные процессы). Рассмотрим формулу сложных процентов

prakt238.wmf,

где P – первоначальная сумма; i – ставка процентов (десятичная дробь); S – сумма, которая образовалась к концу срока ссуды в конце n-го года.

Пример. Найти прибыль от 30000 долларов, положенных на депозит на 3 года под 10 % годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.

Решение. Используем формулу для вычисления сложных процентов:

prakt239.wmf долл.

В данном случае прибыль будет равна:

39930 – 30000 = 9930 долл.

Ответ: 9930 долл.

Зачастую в финансовой практике возникают задачи, обратные определению наращенной суммы: по заданной сумме, которую следует уплатить через некоторое время, необходимо определить сумму полученной ссуды. Имеем:

prakt240.wmf,

где S – заданная сумма; n – время; P – полученная ссуда.

Следовательно, при очень больших сроках платежа сумма последнего будет крайне незначительна. В финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм почти не используются, однако при выборе и обосновании инвестиционных решений они необходимы (многие экономические явления по своей природе непрерывны). Разновидность формулы сложных процентов в случае, когда проценты начисляются m раз в году:

prakt241.wmf,

где m – число периодов начисления в году, i – годовая ставка.

Логично, что чем больше m, тем меньше n между моментами начисления процентов. В пределе при m →∞ имеем:

prakt242.wmf.

Так как prakt243.wmf, то prakt244.wmf.

Чтобы было возможно отличать ставки непрерывных и дискретных процентов, непрерывную ставку обозначим d, тогда prakt245.wmf.

Пределы так же применяются при использовании производной в экономике. Если функция u=u(t) – объем произведенной продукции за время t, то производная u›(t0) есть производительность труда в момент времени t0. Если y=f(x) – издержки производства при производстве xединиц продукции, то производная y›=f›(x0) выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной продукции. Также существуют другие величины, характеризующие предельные процессы выручки, дохода, продукта, полезности, производительность и т.д.

Если предельные издержки и цена продукции равны, то в таких случаях говорят, что выпуск продукции является оптимальным для производителя.

prakt249.wmf,

где ?y – изменение денежных единиц, ?x – изменение выпуска продукции, p – цена продукции.

Рассмотрим соотношение между предельным и средним доходами. Пусть p – цена, а q–количество продукции, тогда r = pq, где r – суммарный доход.

Рассмотрим монопольный рынок (на цену влияет одна фирма (иногда несколько): пусть p=aq+b – кривая спроса, тогда r=(aq+b) q=aq2+bq – суммарный доход, prakt251.wmf – средний доход, prakt252.wmf – предельный доход. В таких условиях действует следующая закономерность: чем большее количество продукции продано, тем предельный доход ниже, а значит и средний доход уменьшается.

В условиях свободного конкурентного рынка товары продают по фиксированной цене (p=b), тогда r = bq – суммарный доход, prakt253.wmf – предельный доход, prakt254.wmf – средний доход. Значит, при совершенной конкуренции предельный и средний доходы совпадают.

От 0 до prakt255.wmf эластичный спрос, от prakt256.wmf до prakt257.wmf – неэластичный спрос.

Эластичностью функции Ex(y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при ?x→0:

prakt259.wmf.

Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при изменении переменной x на 1 % (другими словами, эластичность показывает, на сколько процентов в среднем произойдет изменение спроса при изменении цены на 1 %). Если модуль найденной эластичности больше единицы, то спрос эластичный (prakt260.wmf); если меньше либо равен единице, тогда спрос называют неэластичным (prakt261.wmf); если равен единице, то говорят о спросе с единичной эластичностью prakt262.wmf.

mat2.tiff

При p = p(q) – произвольной кривой спроса, предельный доход (prakt263.wmf) равен:

prakt264.wmf = prakt265.wmf,

или иначе

prakt266.wmf так как Ep(q) < 0.

C возрастанием цены р суммарный доход от продажи продукции увеличивается (при эластичном спросе (prakt267.wmf, то prakt268.wmf)) или уменьшается (при неэластичном спросе (prakt269.wmf, то prakt270.wmf)).

Пример: даны функции спроса prakt271.wmf и предложения s = p + 0,5, где p – цена товара, q – количество покупаемого товара (спрос), а s – количество предлагаемого товара (предложение). Найти рыночную цену и эластичность спроса и предложения для этой цены.

Решение. Рыночную цену найдем с помощью равенства q иs:

prakt272.wmf (ден. ед.).

Эластичность спроса и предложения найдем по формуле

prakt273.wmf

эластичность спроса, prakt274.wmf – эластичность предложения.

Т.к. p = 2, то prakt275.wmf, а prakt276.wmf. Значит, спрос и предложение на этот товар при рыночной цене являются неэластичными: при увеличении цены на 1 % спрос уменьшится на 0,3 %, а предложение возрастет на 0,8 %.

В ходе работы показана актуальность теории пределов при нахождении показателей в различных экономических ситуациях. Следовательно, теория пределов играет важную роль не только в математике, но и в экономике.


Библиографическая ссылка

Галаян Д.В., Онищенко Л.И., Гулай Т.А. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=15014 (дата обращения: 08.12.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674