Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

МОДИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЯ СЛУЦКОГО ДЛЯ АНАЛИЗА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА

Буханцов С.А. 1 Михненко Е.В. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Литвин Д.Б., Шайтор А.К., Роговая Н.А. Метод коррекции свойств объекта управления // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем: сб. науч. статей по материалам III Междунар. науч.-практ. конф. – Ставрополь: СтГАУ, 2012. – С. 5–8.
2. Система контроля условий транспортировки ценных грузов / Д.Б. Литвин, И.П. Шепеть, С.М. Бражнев, К.А. Протасов, Е.Д. Литвина // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона: сб. науч. статей по материалам Междунар. науч.-практ. конф. – Ставрополь: СтГАУ, 2014. – С. 184–186.
3. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования / Т.А. Гулай, А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин, З.Г. Донец. // Аграрная наука, творчество, рост. 2014. – С. 329–332.
4. Решение систем алгебраических уравнений в среде MATLAB / И.П. Шепеть, С.М. Бражнев, Д.Б. Литвин, Е.Д. Литвина, К.А. Протасов // Инновационные направления развития в образовании, экономике, технике и технологиях: сб. науч. статей в 2-х ч. по материалам Междунар. науч.-практ. конф.; под общ. науч. ред. д.т.н., проф. В.Е. Жидкова. Ставрополь, 2014. Ч. 1. – С. 158–162.
5. Литвин Д.Б., Цыплакова О.Н., Родина Е.В. Моделирование экономических процессов в пространстве состояний // Теоретические и прикладные аспекты современной науки: сб. науч. тр. по материалам Международной науч.-практ. конф. Ставрополь, 2014. – С. 62–66.
6. Метод повышения точности измерения векторных величин / Д.В. Бондаренко, С.М. Бражнев, Д.Б. Литвин, А.А. Варнавский // НаукаПарк, 2013. – № 6 (16). – С. 66–69.
7. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности разделов математических дисциплин, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. – 2013. – № 1 (9). – С. 6–10.
8. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Государственное регулирование в системе агробизнеса // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: сб. науч. тр. по материалам Ежегодной 76-й науч.-практ. конф. (г. Ставрополь, 24 апреля 2012 г.). – Ставрополь: СтГАУ, 2012. – С. 202–207.
9. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Применение операционного исчисления в моделировании экономических систем // Аграрная наука, творчество, рост. – 2013. – С. 263–265.
10. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Совершенствование экономических механизмов для решения проблем экологической безопасности // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона. – 2013. – С. 68–71.
11. Литвин Д.Б., Дроздова Е. А. Математическое моделирование в среде визуального программирования // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 77–78.
12. Литвин Д.Б., Шепеть И.П. Моделирование роста производства с учетом инвестиций и выбытием фондов // Социально-экономические и информационные проблемы устойчивого развития региона: Международная науч.-практ. конф., 2015. – С. 114-116.

Уравнение, носящее имя нашего соотечественника Е. Слуцкого, известно в науке начиная с первой половины XX в. Оно состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары при условии неизменности уровня благосостояния. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода. Эффект замещения иногда называют изменением компенсированного спроса [1]. Идея состоит в том, что потребителю компенсируют повышение цены таким увеличением его дохода, которое позволяет ему купить старый потребительский набор. Разумеется, если цена снижается, то «компенсация» заключается в том, что у него отбирают часть денежного дохода [2].

Уравнение Слуцкого описывает поведение точки спроса prakt129.wmf при компенсации, когда изменения вектора цен prakt130.wmf и размера бюджета (дохода) q согласованы таким образом, что значение функции полезности prakt131.wmf (далее ФП) остается постоянным. В точке спроса выполняются стандартные условия достижения максимума ФП [3]

prakt132.wmf (1)

где l – множитель Ланграджа, в данном случае натуральная предельная стоимость денег.

Точка спроса prakt133.wmf есть однородная функция нулевого порядка, и, следовательно, она подчиняется уравнению Эйлера [4]:

prakt134.wmf (2)

Так как по условию u=const, то

prakt135.wmf

А следовательно, согласно первому уравнению системы (1):

prakt136.wmf (3)

Изменение точки спроса при компенсации (compensation):

prakt137.wmf

где согласно (3) приращение дохода равно:

prakt138.wmf (4)

т.е. prakt139.wmf

Откуда следует классический вид уравнения Слуцкого [10]:

prakt140.wmf (5)

(prakt141.wmf – столбец; prakt142.wmf– строка).

Для дальнейшего исследования целесообразно ввести диагональные матрицы P и X:

prakt143.wmf prakt144.wmf

Они позволяют находить матрицу эластичности спроса e и вектор эластичности спроса prakt145.wmf:

prakt146.wmf;

prakt147.wmf. (6)

Непосредственно из уравнений (6) следует [11]:

prakt148.wmf (7)

Умножив обе части уравнения (5) на X–1 слева и на P справа, получим уравнение Слуцкого, выраженное в терминах эластичности [6]:

prakt149.wmf (8)

где e, εc – соответственно матрицы эластичности без компенсации и при ее наличии; prakt150.wmf – вектор расходов.

Введем вектор распределения относительных расходов:

prakt151.wmf

Тогда уравнение Слуцкого (8) можно записать максимально простым образом [7]

prakt152.wmf (9)

Введем векторы относительных изменений спроса:

prakt153.wmf

Аналогично запишем вектор относительных изменений цен

prakt154.wmf

При малых величинах этих двух векторов с достаточной точностью можно считать, что они линейно зависят друг от друга

prakt155.wmf (10)

Теперь предположим, что ФП – однородная функция порядка a.

Известно, что в этом случае выполняется равенство:

prakt157.wmf

Поэтому уравнение Слуцкого (5) в случае произвольной однородной ФП приобретает вид [8]

prakt158.wmf (11)

Умножив каждую сторону уравнения (11) на X–1 слева и на P справа, получим соответствующее уравнение для эластичностей:

prakt159.wmf (12)

Рассмотрим частный случай, когда однородная ФП является функцией Кобба-Дугласа. Тогда, как рассмотрено выше, спрос оказывается равным:

prakt160.wmf

отсюда

prakt161.wmf (13)

где prakt162.wmf – вектор степеней.

Далее: prakt163.wmf (E единичная матрица) – эластичность без компенсации.

Отсюда следует выражение для эластичности при наличии компенсации

prakt164.wmf (14)

Рассмотрим пример с тремя видами товара.

Задается вектор prakt165.wmf функции Кобба-Дугласа. Задается вектор относительных изменений цен prakt166.wmf (в процентах).

Требуется найти вектор относительных изменений вектора потребления при компенсации prakt167.wmf (в процентах).

Пусть, например, векторы prakt168.wmf и prakt169.wmf равны:

prakt170.wmf

Матрица эластичности спроса при компенсации в общем случае равна:

prakt171.wmf

где prakt172.wmf

В данном примере сумма степеней

prakt173.wmf

prakt174.wmf

матрица эластичности.

Отсюда в соответствии с равенством (10) получаем вектор относительных изменений вектора потребления:

prakt175.wmf

Можно видеть, что спрос на первый и второй виды товара возрос соответственно на 17,5 и на 2,5 %, а спрос на третий вид товара снизился на 7,5 %.

Нетрудно заметить, что равенство (10) позволяет решать и обратную задачу: задавшись желаемым относительным изменением спроса, определить, каким образом для этого необходимо изменить цены:

prakt176.wmf

Таким образом, построена модель, в рамках которой определяется относительное изменение вектора спроса при компенсации. Одновременно решается и обратная задача на определение компенсированных изменений цен.

Показывается, что привлечение понятия эластичности спроса упрощает запись уравнения Слуцкого и его решение. Доказывается, что знание матрицы эластичности и вектора относительных расходов достаточно для определения реакции спроса для любых сравнительно небольших компенсированных изменений цен. Разумеется, если имеется информация о функции полезности потребителя, то упомянутые матрица эластичности ec и распределение расходов prakt178.wmf в принципе теоретически всегда можно вычислить.


Библиографическая ссылка

Буханцов С.А., Михненко Е.В. МОДИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЯ СЛУЦКОГО ДЛЯ АНАЛИЗА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=15010 (дата обращения: 07.12.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674