Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

• Авторы
• Файлы
• Литература

Мамаев И.И. 1 Светличная В.Ю. 1

---

1 Ставропольский государственный аграрный университет

Статья в формате PDF

329 KB

1. Погорелов А.В. Основания геометрии. – М.: Наука, 1979.

2. Мамаев И.И., Котова С.В. Окружность в абсолютной геометрии. II Инновация в науке: пути развития: материалы международной заочной научно-практической конференции. – Чебоксары: учебно-методический центр, 2014. – С. 326-331.

3. Мамаев И.И., Бондаренко В.А., Шибаев В.П. Элементы теории математических доказательств в преподавании математических дисциплин в вузе. Ежегодная 77 научно-практическая конференция «Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу». – Ставрополь: СтГАУ, 2013. – С. 482-486.

4. Донец З.Г., Мамаев И.И., Шибаев В.П. Учебная дисциплина как целостная модель организации обучения студентов на интегративной основе // Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики. – Ставрополь: СтГАУ, 2012. – С. 40-47.

5. Литвин Д.Б., Яновский А.А., Донец З.Г. Интерполяция и аппроксимация данных в MATLAB // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона. – Ставрополь: СтГАУ, 2013. – С. 97-99.

6. Серикова В.С., Родина Е.В. Кривые второго порядка // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – №5. – С. 175-177.

7. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. СтГАУ. – 2013. – №1(9). – С. 6-10.

Для кривых второго порядка возникает вопрос, имеющий практическое значение: действительны ли для параболы, эллипса и гиперболы метрические соотношения подобные тем, которые существуют для окружности (свойства касательной и секущей и другие).В данной статье покажем, что такие метрические соотношения существуют.

I. Парабола

Лемма 1. Пусть точка лежит на хорде параболы или на ее продолжении и, кроме того, прямая параллельна оси , причем точка лежит на параболе. Тогда

, (1)

где – угол, составленный хордой с горизонталью.

Доказательство. Решим сначала графическим путем квадратное уравнение . Для этого построим на одном чертеже графики функции и . Очевидно, абсцисса и точек пересечения и параболы с прямой будут корнями данного уравнения.Сделав затем некоторые дополнительные построения, найдем из чертежа (рис. 1):

и .

Далее, перемножая и , получим (2):

Кроме того, нетрудно заметить, что

(3)

Из равенств (2) и (3) следует (1).Аналогичным доказывается лемма и в том случае, когда точка будет внешней по отношению к параболе (рис. 2).

II. Эллипс

Лемма 2. Пусть – вертикальная или горизонтальная и – наклонная хорды эллипса и, кроме того, – точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их. Тогда

, (4)

где – угол, составленный наклонной хордой с осью , и равно или , в зависимости от того, вертикальной или горизонтальной будет хорда .

Доказательство. Пусть – уравнение прямой, проходящей через концы наклонной хорды. Решив его совместно с уравнение эллипса, получим квадратное уравнение:

Очевидно, что в данном случае

и .

Далее, из чертежа (рис.3) найдем:

,

или

(5)

Замечая, что

и

получим:

(6)

Таким образом, принимая во внимание равенства (5) и (6), будем иметь

(7)

В том случае, когда хорда горизонтальна, а также тогда, когда точка будет внешней по отношению к эллипсу (рис.4), теорема доказывается по аналогии.

Частный случай: при из формулы (7) следует соотношение:

. (8)

III. Гипербола

Лемма 3.Пусть – вертикальная или горизонтальная и – наклонная хорды гиперболы

и, кроме того, – точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их.

Тогда:

, (9)

где, и имеют тот же смысл, что и для эллипса; при этом знак плюс или минус в правой части равенства берется в соответствии с тем, внутренней или внешней будет хорда по отношению к гиперболе. Доказательство леммы (3) аналогично тому, что мы имели для эллипса. Частный случай: если хорда параллельна оси и хорда параллельна оси и, кроме того, – точка пересечения одной из них с продолжением другой (рис.5 и 6), то из леммы (3) можно получить соотношение

(10)

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6.

Так как через точку , не лежащую на кривой, можно провести всякий раз по две прямых (две хорды, или две секущих, или секущую касательную), составляющих с осью одинаковые углы, то из рассмотренных выше лемм, а также их частных случаев, непосредственно вытекают следующие теоремы.

Теорема I. Произведения отрезков хорд кривой второго порядка, проходящих через данную точку и, составляющих с ее осью одинаковые углы, равны между собой.

Теорема II. Произведения секущих кривой второго порядка, проходящих через данную точку и составляющих с ее осью одинаковые углы, на их внешней части, равны между собой.

Теорема III. Если секущие и касательные кривой второго порядка, проведенные из данной точки, составляют одинаковые углы с ее осью, то квадрат касательной будут равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Теорема IV. Если хорда центральной кривой параллельна оси и хорда параллельна оси и, кроме того, – точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их, то . В частности, для окружности и равносторонней гиперболы (b = a) будем иметь: .

Отметим также, что теоремы I, II и III (с учетом того, что касательная если предельное положение секущей) можно объединить в одну теорему: если и – хорды кривой второго порядка, составляющие с ее осью одинаковые углы, и является точкой пересечения этих хорд или лежащие на их продолжении, то для полученных при этом отрезков имеет место равенство .

Библиографическая ссылка