Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

СВОЙСТВА СЕКУЩИХ И КАСАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Мамаев И.И. 1 Светличная В.Ю. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Погорелов А.В. Основания геометрии. – М.: Наука, 1979.
2. Мамаев И.И., Котова С.В. Окружность в абсолютной геометрии. II Инновация в науке: пути развития: материалы международной заочной научно-практической конференции. – Чебоксары: учебно-методический центр, 2014. – С. 326-331.
3. Мамаев И.И., Бондаренко В.А., Шибаев В.П. Элементы теории математических доказательств в преподавании математических дисциплин в вузе. Ежегодная 77 научно-практическая конференция «Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу». – Ставрополь: СтГАУ, 2013. – С. 482-486.
4. Донец З.Г., Мамаев И.И., Шибаев В.П. Учебная дисциплина как целостная модель организации обучения студентов на интегративной основе // Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики. – Ставрополь: СтГАУ, 2012. – С. 40-47.
5. Литвин Д.Б., Яновский А.А., Донец З.Г. Интерполяция и аппроксимация данных в MATLAB // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона. – Ставрополь: СтГАУ, 2013. – С. 97-99.
6. Серикова В.С., Родина Е.В. Кривые второго порядка // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – №5. – С. 175-177.
7. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. СтГАУ. – 2013. – №1(9). – С. 6-10.

Для кривых второго порядка возникает вопрос, имеющий практическое значение: действительны ли для параболы, эллипса и гиперболы метрические соотношения подобные тем, которые существуют для окружности (свойства касательной и секущей и другие).В данной статье покажем, что такие метрические соотношения существуют.

I. Парабола

Лемма 1. Пусть точка missing image file лежит на хорде missing image file параболы missing image fileили на ее продолжении и, кроме того, прямая missing image file параллельна оси missing image file, причем точка missing image fileлежит на параболе. Тогда

missing image file, (1)

где missing image file – угол, составленный хордой с горизонталью.

Доказательство. Решим сначала графическим путем квадратное уравнение missing image file. Для этого построим на одном чертеже графики функции missing image file и missing image file. Очевидно, абсцисса missing image fileи missing image fileточек пересечения missing image file и missing image file параболы с прямой будут корнями данного уравнения.Сделав затем некоторые дополнительные построения, найдем из чертежа (рис. 1):

missing image file и missing image file.

Далее, перемножая missing image file и missing image file, получим (2):

missing image filemissing image file

Кроме того, нетрудно заметить, что

missing image file (3)

Из равенств (2) и (3) следует (1).Аналогичным доказывается лемма и в том случае, когда точка missing image file будет внешней по отношению к параболе (рис. 2).

II. Эллипс

Лемма 2. Пустьmissing image file – вертикальная или горизонтальная и missing image file – наклонная хорды эллипса missing image file и, кроме того, missing image file – точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их. Тогда

missing image file, (4)

где missing image file – угол, составленный наклонной хордой с осью missing image file,missing image file и missing image file равно missing image file или missing image file, в зависимости от того, вертикальной или горизонтальной будет хорда missing image file.

Доказательство. Пусть missing image file – уравнение прямой, проходящей через концы наклонной хорды. Решив его совместно с уравнение эллипса, получим квадратное уравнение:

missing image file

Очевидно, что в данном случае

missing image file и missing image file.

Далее, из чертежа (рис.3) найдем:

missing image filemissing image file,

или

missing image file

missing image file (5)

Замечая, что

missing image file и

missing image file

получим:

missing image file (6)

Таким образом, принимая во внимание равенства (5) и (6), будем иметь

missing image file (7)

В том случае, когда хорда missing image file горизонтальна, а также тогда, когда точка missing image file будет внешней по отношению к эллипсу (рис.4), теорема доказывается по аналогии.

Частный случай: при missing image file из формулы (7) следует соотношение:

missing image file. (8)

III. Гипербола

Лемма 3.Пусть missing image file – вертикальная или горизонтальная и missing image file – наклонная хорды гиперболы

missing image file

и, кроме того, missing image file– точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их.

Тогда:

missing image file, (9)

где, missing image file и missing image file имеют тот же смысл, что и для эллипса; при этом знак плюс или минус в правой части равенства берется в соответствии с тем, внутренней или внешней будет хорда missing image file по отношению к гиперболе. Доказательство леммы (3) аналогично тому, что мы имели для эллипса. Частный случай: если хорда missing image file параллельна оси missing image file и хорда missing image file параллельна оси missing image file и, кроме того, missing image file – точка пересечения одной из них с продолжением другой (рис.5 и 6), то из леммы (3) можно получить соотношение

missing image file (10)

missing image file

Рис. 1. Рис. 2.

missing image file

Рис. 3. Рис. 4.

missing image file

Рис. 5. Рис. 6.

Так как через точку missing image file, не лежащую на кривой, можно провести всякий раз по две прямых (две хорды, или две секущих, или секущую касательную), составляющих с осью missing image file одинаковые углы, то из рассмотренных выше лемм, а также их частных случаев, непосредственно вытекают следующие теоремы.

Теорема I. Произведения отрезков хорд кривой второго порядка, проходящих через данную точку и, составляющих с ее осью одинаковые углы, равны между собой.

Теорема II. Произведения секущих кривой второго порядка, проходящих через данную точку и составляющих с ее осью одинаковые углы, на их внешней части, равны между собой.

Теорема III. Если секущие и касательные кривой второго порядка, проведенные из данной точки, составляют одинаковые углы с ее осью, то квадрат касательной будут равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Теорема IV. Если хорда центральной кривой missing image file параллельна оси missing image file и хорда missing image file параллельна оси missing image file и, кроме того, missing image file – точка пересечения хорд или точка, лежащая на продолжении их, то missing image file. В частности, для окружности и равносторонней гиперболы (b = a) будем иметь: missing image file.

Отметим также, что теоремы I, II и III (с учетом того, что касательная если предельное положение секущей) можно объединить в одну теорему: если missing image file и missing image file – хорды кривой второго порядка, составляющие с ее осью одинаковые углы, и missing image file является точкой пересечения этих хорд или лежащие на их продолжении, то для полученных при этом отрезков имеет место равенство missing image file.


Библиографическая ссылка

Мамаев И.И., Светличная В.Ю. СВОЙСТВА СЕКУЩИХ И КАСАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14132 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074