Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ОТНОШЕНИЕ МЕРЫ ДУГИ И ДЛИНЫ ЕЕ ХОРДЫ В АБСОЛЮТНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Мамаев И.И. 1 Трембач Ю.С. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Бакельман И.Я. Высшая геометрия. – М.: Просвещение, 1967. – 367 с.
2. Мамаев И.И., Попова С.В. Окружность в абсолютной геометрии // Инновации в науке: пути развития: матер. Междунар. заочн. науч-практ. конф. – Чебоксары: учебно-методический центр, 2014. – С. 326-331.
3. Мамаев И.И., Бондаренко В.А., Шибаев В.П. Элементы теории математических доказательств в преподавании математических дисциплин в вузе. Ежегодная 77 науч-практ. конф. “Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу”. – Ставрополь: СтГАУ, 2013. – С. 482-486.
4. Донец З.Г., Мамаев И.И., Шибаев В.П. Учебная дисциплина как целостная модель организации обучения студентов на интегративной основе // Теоретические и прикладные проблемы современной педагогике. – Ставрополь: СтГАУ, 2012. – С. 40-47.
5. Конков Д.А., Леликова Е.И., Мелешко С.В. Взаимодействие математики с экономикой // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – №5. – С. 159-161.
6. Невидомская И.А., Якубова А.М. Применение факторного анализа при исследовании экономических процессов // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – №6. – С. 81-83.
7. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК Ставрополья. СтГАУ. – 2013. – №1(9). – С. 6-10.

Как известно, отношение меры дуги к длине ее хорды, когда дуга неограниченно убывает, имеет предел, равный положительному числу. Доказательство этого предложения в геометрии Евклида известно, однако, понятие о дуге длины окружности имеет смысл и в абсолютной геометрии. Поэтому возникла задача провести доказательство указанного предложения без использования аксиомы параллельности.

Сначала докажем несколько вспомогательных предложений.

Предложение 1. Из отрезков, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону, больше тот, который принадлежит большей стороне.

Пусть BC>AB. (Рис.1). Проведем медиану BS и продолжим ее на отрезке SD=BS, точку D соединим с точкой C. Очевидно, missing image file и missing image file, а следовательно, BC>DC и missing image file. Но missing image file, поэтому missing image file, т.е. биссектриса угла missing image file пересекает сторону AC в некоторой точке K, лежащей между A и S, а так как AS=SC, то AK<KC.

missing image file

Рис. 1.

Предложение 2. Если в сумме missing image file положительных чисел слагаемые с возрастанием номера не убывают (возрастают) и сумма m первых слагаемых при m<n равна b, то

missing image file.

Действительно, все числа, входящие в состав b, не больше каждого из чисел missing image file,..., missing image file.,

Поэтому missing image filemissing image file, missing image filemissing image file, ... , missing image filemissing image file.

складывая эти неравенства, получим

missing image file,

откуда следует missing image file, т.е. missing image file.

В случае возрастания слагаемых аналогичные рассуждения дают missing image file.

Далее имеем следующие теоремы.

Теорема 1. Если дуга окружности неограниченно убывает, то отношение соответствующего ей отрезка касательной к ее хорде стремится к единице.

Пусть AB – хорда, стягивающая дугу missing image file, AC – соответствующей дуге отрезок касательной, O – центр дуги, AD – перпендикуляр, опущенный из точки A на OC (рис. 2).

missing image file

Рис. 2.

Так как лежит между C и D, то AD<AB<AC, а, следовательно,

missing image file.

На продолжении AC возьмем произвольную точку K и опустим из нее перпендикуляр KZ на прямую AD.

Так как по предыдущей лемме

missing image file, то missing image file.

Но при missing image file последнее отношение стремится к 1,

поэтому missing image filemissing image file.

Теорема 2. Предел отношения меры неограниченно убывающей дуги окружности к длине ее хорды существует и равен положительному числу.

В самом деле, если missing image file – мера дуги, a – длина ее хорды и t – длина соответствующего дуге отрезка касательной, то

missing image file.

Теорема 3. Существует система измерения дуг, при которой предел отношения меры неограниченно убывающей дуги к длине ее хорды равен 1.

Пусть missing image file – градусная мера и a – длина хорды дуги окружности и missing image file.

Примем за единицу измерения дугу missing image file. Новую меру дуги missing image file обозначим через S. Так как новая единица в K раз больше старой, то

missing image file,

а поэтому

missing image file.

Называя систему измерения, о которой говорится в последней теореме, линейной, а меру дуги в линейной системе измерения длиной дуги, получим следующую теорему.

Теорема 4. Длина всякой дуги окружности равна пределу, к которому стремится длина вписанной в дугу выпуклой ломаной, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, так что каждая часть дуги, стягиваемая звеном, стремится к нулю.


Библиографическая ссылка

Мамаев И.И., Трембач Ю.С. ОТНОШЕНИЕ МЕРЫ ДУГИ И ДЛИНЫ ЕЕ ХОРДЫ В АБСОЛЮТНОЙ ГЕОМЕТРИИ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14131 (дата обращения: 02.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074