Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИКЕ

Ахмедханова А.И. 1 Кожемякина В.А. 1 Мамаев И.И. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Красс М.С. Математика в экономике. – М.: ФБК-ПРЕСС, 2005. – 472 с.
2. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Экономические задачи на составление систем линейных алгебраических уравнений // Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития регионов: материалы ежегодной 78-й научно-практической конференции Ставропольского ГАУ «Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу». Секция «Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона, г. Ставрополь, 16 апреля 2014г. – Ставрополь: ООО «Альфа Принт», 2014. – С. 251-255.
3. Бондаренко В.А., Мамаев И.И., Сахнюк П.А., Сахнюк Т.И. Опыт использования математических моделей современных экономических исследований в учебном процессе // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона. – Ставрополь, 2013. – С. 233-236.
4. Бондаренко В.А., Мамаев И.И., Сахнюк П.А., Сахнюк Т.И. Модель совершенствования мотивации обучения студентов экономических специальностей в учебном процессе // Информационные системы и технологии как фактор в развитии экономики региона: сборник материалов Международный научно-практической конференции / СтГАУ. – Ставрополь: Бюро Новостей, СтГАУ, 2013. – С. 225-228.
5. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры // Аграрная наука, творчество, рост: сборник научных трудов по материалам Международно-практической конференции. – Ставрополь: СтГАУ, 2013. – С. 268-271.
6. Мамаев И.И., Долгополова А.Ф. Профессиональная направленность в обучении студентов математическим дисциплинам // Аграрная наука, творчество, рост. – 2013. – С. 278-280.
7. Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – №6. – С. 91-93.

Одним из основных методов решения экономических задач является матричный метод. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме.

Матрица – это прямоугольная таблица, представляющая собой совокупность строк и столбцов. Размерностью матрицы называется величина m×n, где m-число строк, n-число столбцов.

Впервые матрица появилась в Древнем Китае и носила название «волшебный квадрат». Чуть позже она стала известна и арабским математикам. В конце XVII века швейцарский ученый Габриэль Крамер разработал свою теорию, а в 1751 году опубликовал один из методов решения систем линейных уравнений «правило Крамера». Также в этот период был создан «метод Гаусса». Огромный вклад в развитие теории матриц в середине XIX внесли такие известные ученые как Уильям Гамильтон и Артур Кэли. Наряду с ними развивали данную теорию немецкие математики Карл Вейерштрасс и Фердинанд Георг Фробениус, а также, французский математик Мари Энмон Камиль Жордан. В 1850 году Джеймс Сильвестр ввел современное понятие матрицы.

Таким образом, в математике появился раздел, который называется матричной алгеброй. Матричная алгебра имеет очень важное значение в экономике. Обуславливается это тем, что матричный метод позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и объекты. Одним из примеров может послужить таблица распределения ресурсов по различным отраслям (табл. 1).

Таблица 1

Распределение ресурсов

Ресурсы

Отрасли экономики

Промышленость

Сельское хозяйство

Торговля

Трудовые ресурсы

4,8

6,7

7,1

Водные

ресурсы

3,1

2,5

5,8

Электро-

энергия

5,6

4,3

3,4

Данная таблица может быть записана в виде матрицы:

missing image file

Так, например, элемент матрицы а22 = 25 показывает, сколько водных ресурсов потребляет сельское хозяйство, а элемент матрицы а13 = 7,1 показывает, сколько трудовых ресурсов потребляет торговля.

Другим примером может служить следующая задача:

предприятие выпускает три вида продукции С1, С2, С3 и на производство данной продукции использует два вида сырья К1, К2:

missing image file

где каждый элемент аij показывает, сколько сырья j-того типа может быть израсходовано на производство продукции i-того типа. Стоимость каждого типа сырья задана матрицей-столбцом

missing image file,

а план выпуска продукции задан матрицей-строкой В = (90 130 50).

Таким образом, мы получим: затраты на сырьё

К1 = 4 × 90 + 2 × 130 + 1 × 50 = 670 (единиц),

а стоимость второго сырья

К2 = 3 × 90 + 6 × 130 + 5 × 50 = 1300 (единиц).

Следовательно, общая стоимость сырья

Р = 670 × 60 + 1300 × 40 = 92200 может быть записана в виде матрицы: Р = К × С = (ВА)С = 92200.

Отметим, что общую стоимость сырья P можно вычислить и в ином порядке: для начала, вычислим матрицу Z стоимостей затрат сырья:

missing image file

Общая стоимость сырья равна:

missing image file

Одинаковость данных результатов (92200) получена благодаря выполнению ассоциативного закона произведения матриц: (ВА)С = В(АС)

Далее рассмотрим задачу:

В таблице 2 приведены данные о производительности 5 предприятий, которые выпускают 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, так же длительность работы всех предприятий в году и цена каждого вида сырья.

Таблица 2

Вид изделия №

Производительность данных предприятий

Затраты видов сырья изделия

1

2

3

4

5

1

2

3

1

5

6

4

7

8

2

4

5

2

1

3

5

4

1

3

6

7

3

9

16

1

5

7

4

5

6

4

4

11

8

6

5

5

9

7

Количество полных рабочих дней в году

Цена различных видов сырья

1

2

3

4

5

1

2

3

210

160

180

130

150

50

60

70

Необходимо определить:

1) Производительность каждого предприятия по каждому типу изделий;

2) Потребность каждого предприятия по каждому типу сырья;

3) Сумму кредитования предприятий для закупки сырья, которое необходимо для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Решение задачи: составим матрицы, которые характеризуют весь экономический спектр производства. Построим матрицу производительности предприятий по всем типам продукции:

missing image file

Каждый столбец данной матрицы соответствует производительности по каждому виду продукции. Исходя из этого, годовую производительность i-го предприятия по каждому виду продукции можно получить благодаря умножению i-го столбца матрицы C на количество рабочих дней в году для данного предприятия (i = 1, 2 ,3, 4, 5). Следовательно, годовую производительность каждого предприятия по каждому из изделий можно представить в виде матрицы:

missing image file

Матрица затрат сырья на единицу изделия (данные показатели по условию являются одинаковыми для всех предприятий) имеет следующий вид:

missing image file

Расход по типам сырья на предприятиях можно описать при помощи произведения матрицы D на матрицу C:

missing image file

где j-я строка соответствует номеру типа сырья, а i-й столбец – номеру предприятия согласно таблице (j =1, 2, 3; i =1, 2, 3, 4, 5).

На второй вопрос задачи ответ можно получить аналогично, умножив столбцы матрицы DС на соответствующее количество рабочих дней в году – это годовая потребность предприятий в каждом типе сырья:

missing image file

Введем вектор стоимости сырья: missing image file

Тогда стоимость годового запаса сырья для каждого предприятия получим путем умножения вектора missing image fileна матрицу missing image file:

missing image file

missing image file

Исходя из этого, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора missing image file.

Из вышеизложенного следует, что матрицы имеют ряд достоинств: позволяют в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и закономерности, дают возможность решать сложные задачи. Также с помощью матриц можно с минимальным количеством затрат труда и времени обработать большой статистический материал, различные данные, которые характеризуют структуру и особенности социально-экономического комплекса.


Библиографическая ссылка

Ахмедханова А.И., Кожемякина В.А., Мамаев И.И. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИКЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14118 (дата обращения: 02.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074