Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В СОЛИСТАХ КУБИЧЕСКИХ АНИЗОТРОННЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ

Самурат А.М. 1 Баймагамбетов У.Б. 1
1 Актюбинский региональный государственный университет им. К.К. Жубанова
1. Молотков Л.А., Баймагамбетов У. Об исследовании распространения волн в слоистых трансверсально-изотропных упругих средах. Записки науч. семинаров ЛОМИ. – Л., 1978. – Т. 78. – С. 149-173.
2. Молотков Л.А., Баймагамбетов У., Смирнова Н.С. Об исследовании дисперсионных уравнений свободного трансверсально-изотропного упругого слоя. Записки научн. семинаров ЛОМИ. – Л., 1980. – Т. 99. – С. 85-103.
3. Осипов И.О. К методу функционально-инвариантных решений для задач динамической теории упругости анизотропных сред // Известия АН СССР. Сер. геофиз. – 1963. – С. 391-396.
4. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. – М., 1973. – 343 с.

С помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа и матричного метода исследуется решения уравнений теории упругости для слоистой кубической системы в двумерной области. Получены асимптотические представления корней дисперсионных уравнений, удобные для численных расчетов на ЭВМ.

Рассмотрим в декартовой системе координат x, z систему из n-кубических слоев, ограниченных полупространствами. Во всех упомянутых средах плоскость изотропии параллельна границами раздела. При этом каждая среда описывается уравнениями Ляме

missing image file (1)

и уравнениями закона Гука

missing image file; missing image file (2)

в которых ρ – плотность; missing image file – коэффициенты Ламе. На всех границах раздела имеют место условия жесткого контакта.

Uxi = Uyi + 1, Uzi = Uzi + 1, txzi = txzi + 1, tzzi =tzzi + 1, (3)

при которых непрерывны векторы смещений Ux, Uz, а также компоненты тензоры напряжения tzz, tzz. Поле смещений в заданной системе удовлетворяет нулевым начальным условиям

Ux/t=0 = 0, Uz/t=0 = 0, missing image filet = 0 = 0, missing image filet = 0 = 0, (4)

Пусть

φ1 = ux, φ2 = uz, φ3 = tkz, φ4 = tzz, f1 = -sinkx, f2 = coskx,

f3 = -ksinkx, f2 = kcoskx, F1 = Ux, F2 = Uz, F3 = Txz, Tu = Tzz (5)

величина η в общем случае характеризует фазовую скорость υ = │Imη│ и коэффициент затухания γ = R│Reη│ интерференционных волн, при этом k=2π/l – волновое число l – длина волны, а в случае нормальных волн η=iτ. Решения задачи с помощью интегральных преобразований

φi(x,z,t)=missing image file,

(j = 1,2,3,4) (6)

сводится к изучению системы дифференциальных уравнений

missing image file (7)

Первым двум уравнениям (7) соответствует определяющее уравнение

adα4 – fα2 + (a + rη2)(d +rη2) = 0; (8)

α1,2 = missing image file ; f = d(d +rη2)+d(d +rη2) c2 (9)

θ = 4dd(d + rη2)(d +rη2)

Выбор основной ветви радикала (9) и проведения разрезов из точек ветвления η = missing image file и η = missing image file проводится так же, как в [ I ].

Система (7) сводится к системе алгебраических уравнений. Решение последний системы запишем для каждого слоя и каждого полупространства рассматриваемой среды. Заданная системы возбуждается падающими из полупространств волнами missing image file, missing image file , missing image file, missing image fileкоторые представляются равенствами (6). Образующиеся в результате отражений и преломлений волновые поля удовлетворяют соотношениям (I), (2) и (4). Кроме того, эти поля совместно с падающими возмущениями удовлетворяют условиями (3). Для определения остальных 4(n+1) функций на основании (3) применяем обобщенный матричный метод [ I ].

А теперь исследуем дисперсионные уравнения, описывающие распространение нормальных волн типа в заданном слое при kh missing image file. С математической точки зрения дисперсионное уравнение является характеристическим уравнением для собственных чисел некоторого дифференциального оператора, являющегося обобщением оператора Штурма- Лиувилля. В случае нормальных волн этот оператор является самосопряженным, а для затухающих-несамосопряженным.

Дисперсионное уравнение симметричного слоя относительно плоскости z = 0,5h разлагается на два уравнения.

missing image file (10)

Описывающие антисимметричные и симметричные колебания. Величины β1, γ1, β2, γ2 являются функциями от η, выражения которых получается из соответствующих выражения [ I ] при b=a d=m . Исследование уравнений проводится в областях

Tl – Immissing image file

II – Immissing image file Immissing image file

missing image file

так же, как в [ 2 ].

При этом величины missing image file являются точками ветвления внутреннего радикала (9) в верхней полуплоскости. Дисперсионные уравнения (10) при kh > 1 представляются соотношениями (11)

missing image file

Уравнение Релея IR = 0 в данной области имеют один корень области (I) τ = τR. Если эта предельная точка лежит в области (I) получим представления (12)

missing image file

missing image file (12)

а в случае τRmissing image file (13)

missing image file

missing image file (13)

Из этих равенств следует, что корни о разных сторон приближаются по экспоненциальному закону к предельной точке.

Если τRmissing image file, то корни уравнений (10) имеют вид (14)

missing image file

При этом в правых частях вместо величин A, θ, f имеем значения при τ = τR, а величина CR = dR/d(rτ2). Равенства (14) показывают, что корни приближаются к предельной точке, испытывая колебания около этой точки. Такой колебательной характер движения корней в области (II) является характерной особенностью дисперсионных уравнений анизотропной упругой среды.

Из вторых равенств (12) и (13), а также из монотонного характера перемещения особого корня симметричного дисперсионного уравнения следует, что скорость τR волны Релея, лежащая в интервалах (I) и (III) , удовлетворяют неравенству

missing image file (15)

Следует отметить, что используемые параметры a, c, d удовлетворяют условиям положительности плотности упругой энергии, а также неравенству, обеспечивающему однозначность определения скоростей распространения волн под любыми углами распространения [ 3 ]:

a + d – c > 0, a > d, d > 0; a(d – d) – c2 > 0 (16)

Наконец, отметим, что из-за ограниченности объема работы приведены только основные результаты исследований.


Библиографическая ссылка

Самурат А.М., Баймагамбетов У.Б. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В СОЛИСТАХ КУБИЧЕСКИХ АНИЗОТРОННЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14111 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074