Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ГАУССОВО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КАК S–ОБРАЗНОЕ РАНГОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Евсеев Д.А. 1 Шарипова К.В. 1 Гурина Р.В. 1
1 Ульяновский государственный университет
1. Гурина Р.В., Евсеев Д. А. О соотношении Гауссового и рангового распределений / Теоретические и прикладные вопросы науки и образования: сб. науч. тр по материалам Междунар. науч.- практ. конф 31 августа 2013 г. Часть 1. – Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-Общество», 2013. – С. 47-49. – URL: http://www.ucom.ru/doc/conf/2013_08_31_1.pdf
2. Гурина Р.В., Безбатько Д.Н. Формула для рангового S-распре-деления случайных величин // Наука и образование в жизни современного общества: сб научных трудов по материалам Междунар. науч.- практ. конф 29 ноября 2013 г.: в 18 частях. Часть 12. – Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-Наука-Общество», 2013. – С. 39-41.
3. Евсеев Д.А., Безбатько Д.Н. Исследование соотношения рангового и гауссового распределений // Актуальные вопросы современного образования: материалы IX научно-практической заочной конференции, Москва-Ульяновск, 5 апреля 2014 г. – М.; Ульяновск: ООО «Колор-Принт», 2014. – С. 61-67.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / под общей ред. И.Г. Арамановича. – М.: Изд-во «Наука», 1974.
5. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. – М.: «Наука», 1973.
6. Шарипова К.В., Евсеев Д.А. Ранговое распределение случайных величин в координатах спрямления // Eurasian Uninon of Scientists. – 2014. – С. 142-146. – URL: http://euroasia-science.ru/zhurnaly/18-zhurnal-4/fiziko-matematicheskie-nauki

Статистические закономерности являются фундаментальными законами природы. В работе [1] показано: идеальный график рангового распределения (РР) набора чисел случайных величин W (r) из Гауссового распределения представляет собой S-образную кривую, симметричную относительно биссектрисы прямого угла, образующего координатные оси W и r (рис.1). На рис.1,а представлено идеальное Гауссово частотное распределение fi = f (W ) и, соответствующее ему, РР этих же величин W(r) (рис.1, б).

График Гауссового распределения f (W) (рис 1, а) для наглядности повёрнут на 90 градусов в плоскости рисунка по отношению к графику рис. 1, б [1]. Приведённые графики являются результатом компьютерного моделирования случайных чисел (выборка 10000) с заданным Гауссовым распределением. Среднее значение случайной величины W = 200 (математическое ожидание) соответствует точке перегиба на S-образной кривой.

В методологии естественных наук известен способ определения принадлежности эмпирически полученного графика к той или иной математической зависимости. Этот метод идентификации заключается в построении полученной выборки эмпирических физических величин в «координатах спрямления» и приведения исследуемой функции к линейному виду в этих координатах. Этот метод широко используется физиками-экспериментаторами.

Представляет несомненную методологическую значимость нахождение координат спрямления для S-образной кривой РР случайных величин и применение этих координат с целью идентификации S-образного РР с вероятностным распределением случайных величин (Гауссовым распределением), что и составило цель исследования. Цель определила ряд конкретных задач и этапы исследования.

Этапы исследования.

1. Теоретическая часть:

• определение координат спрямления для S–образной кривой РР;

• нахождение и описание способа моделирования случайных чисел с заданным распределением вероятности;

2. Практическая часть:

• Проверка полученных теоретических результатов при помощи компьютерного модельного эксперимента.

missing image file

Рис. 1. а) Гауссово частотное распределение f i = f (W ) 10000 случайных величин со стандартным отклонением σ = 30, математическим ожиданием 200; б) соответствующее ему, РР этих же величин W (r) [1, с. 48].

Отметим, что S-образный вид эмпирического РР W (r) свидетельствует о принадлежности совокупности параметров W к Гауссовому распределению, при этом с уменьшением дисперсии Гауссового распределения крутизна S-образной характеристики РР увеличивается, угол α между касательной к S-кривой в точке перегиба и горизонтальной осью уменьшается [1].

В работах [2,3] показано, что математическая формула S-образной кривой имеет вид:

missing image file (1)

где missing image file – функция ошибок, или функция Лапласа [4, с.575], а missing image file – функция, обратная функции ошибок.

1) Нахождение координат спрямления для S-образ-ной кривой РР.

Чтобы найти координаты спрямления , нужно подставить (1) в функцию ошибок, при этом в координатах erf ξ (r) получается убывающая прямая:

erf {[ξ ( r ) – μ] / (√2 σ) }= а – (2 / N0) r = а – kr , (2)

где r – ранговый номер случайной величины ξ в порядке её убывания; а, k – постоянные, при этом k = 2/N0 отражает значение тангенса угла наклона прямой к оси рангов.

Проверка данного утверждения, осуществлённая при помощи компьютерного модельного эксперимента, описана ниже в п.3.

2) Моделирование случайных чисел с заданным распределением вероятности.

Ранее найден простой способ моделирования случайных чисел с заданным распределением вероятности. Известно, что:

missing image file,

где missing image file – плотность вероятности. Свойством missing image file является монотонность неубывающей функции, ограниченной в пределах от нуля до единицы, что очень кстати, так как любой язык программирования имеет генератор псевдослучайных чисел в интервале от нуля до единицы. Воспользуемся методом обратных функций.

Теорема. Пусть missing image file случайная величина, равномерно распределенная на интервале missing image file, missing image file – монотонная возрастающая функция на missing image file, имеющая производную и пределы:

missing image file и missing image file

Тогда существует обратная функция missing image file, missing image file и случайная величина missing image file распределена на интервале missing image file с плотностью

missing image file [5].

Рассмотрим распределение Гаусса.

missing image file (3)

Пусть missing image file, причем missing image file – случайная величина, равномерно распределенная от нуля до единицы, тогда:

missing image filemissing image file

missing image file (4)

где missing image file – равномерно распределенные случайные величины в пределах от нуля до единицы.

Примем missing image file и выразим r:

missing image file (5)

В результате мы получаем две независимые случайные величины, распределенные по закону Гаусса из двух независимых равномерно распределенных случайных величин missing image file:

missing image file (6)

Полученные формулы были запрограммированы в среде MatLab и были получены следующие эмпирические результаты.

3) Проверка полученных теоретических результатов при помощи компьютерного модельного эксперимента.

Были построены гистограммы Гауссовых распределений при различных значениях дисперсии (10,20,30,40,50) и, соответствующие им, S-образные кривые пузырьковым методом (ранжирование случайной величины по убыванию). Таким образом была проверена формула (2) (рис. 2, а, б)

missing image file

Рис. 2. К вопросу идентификации распределений случайных величин функции Гаусса (а); с S-образными РР (б, в)

missing image file

Дисперсия 50

missing image file

Дисперсия 30

Рис. 3. К вопросу спрямления функции Гаусса с разными дисперсиями: а) Поле случайных величин; б) Распределения Гаусса; в) Соответствующие им S-образные кривые РР; г) S-образные кривые РР в координатах спрямления

а) Гистограммы распределений случайных величин с дисперсиями 10,20,30,40,50. б) Соответствующие им S-образные кривые РР. в) Спрямление S-образных кривых РР в координатах erf (ξ – А) = f (r) (координатах спрямления).

Подобный алгоритм можно использовать для моделирования случайных величин, распределенных по необходимому закону. Ниже представлены рисунки (рис.3, а, б, в, г), иллюстрирующие описанный выше модельный эксперимент для двух дисперсий – 50 и 30.

Спрямление S-характеристики наглядно выглядит близким к идеальному случаю, когда все точки ложатся на кривую или попадают в доверительный интервал. В рассмотренных случаях моделирование доверительного интервала не предусмотрено, а большинство точек оказывается выше или ниже прямой, что обуславливает малое значение коэффициента регрессии.

Результаты исследования имеют теоретическую и практическую значимость, которая заключается в том, что ранговый анализ открывает новые возможности в методологии научных исследований, использующих построения нормальных распределений: по внешнему виду кривой РР в грубом приближении можно идентифицировать принадлежность выборки значений исследуемой величины к Гауссовому распределению.

Таким образом:

• Найдены координаты спрямления для S-образного РР случайных величин.

• Результаты модельного компьютерного эксперимента подтвердили спрямление S-образного РР в координатах erf ξ (r) , где ξ – функция ошибок, r – ранговый номер исследуемой случайной величины.

• Спрямление S-образного РР случайных величин в найденных координатах спрямления доказывает принадлежность исследуемой выборки случайных величин к вероятностному распределению Гаусса.

• Простота вышеизложенного метода – построение выборки случайных величин Гауссового распределения как S-образного рангового распределения и представление его в виде линейного графика в координатах спрямления позволяют сделать вывод о несомненной практической значимости проведённого исследования.

Результаты модельного компьютерного эксперимента подтверждены ранее проведённым натурным экспериментом по исследованию распределения числа импульсов от счетчика Гейгера-Мюллера [6].


Библиографическая ссылка

Евсеев Д.А., Шарипова К.В., Гурина Р.В. ГАУССОВО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КАК S–ОБРАЗНОЕ РАНГОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14106 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074