Для характеристики линейных электрических цепей используются линейные уравнения для токов и напряжений. Линейные электрические цепи можно заменить линейными схемами замещения из линейных пассивных (резистивные элементы) и активных элементов (постоянные источники ЭДС или источники тока) с линейными вольтамперными характеристиками [3].
Линейные электрические цепи имеют следующие свойства: принцип наложения и эквивалентного генератора, принцип взаимности, теорема о линейных соотношениях, теорема компенсации. Эти свойства учитываются при выборе методов расчета и свойств линейных электрических цепей. Наиболее применимы: метод эквивалентного преобразования, расчет схем с использованием законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора, метод наложения, применение матриц (узловая, диагональная, матрица сопротивлений). Матрицы удобно составлять по графу схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением, равным нулю. Рассмотрим применение матриц к расчету линейных электрических цепей [1].
Задача: рассчитать электрическую цепь, применив матрично-топологический метод.
Дано: E1 = 120 В, E2 = 210 В, E9 = 60 В, I = 2 А, R1 = 25 Ом, R2 = 10 Ом, R2 = 8 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 34 Ом, R6 = 30 Ом, R7 = 20 Ом, R8 = 2 Ом.-
Схема:
Рис. 1
Решение. Для того чтобы составить граф этой схемы, необходимо исключить из ветви ЭДС E9, перенеся её через узел f, и заменить источник тока J на источник ЭДС E6 = IR6.
Преобразованная схема будет иметь вид рис. 2.
Рис. 2
Примечание. На полученной схеме узлы d и f допустимо рассматривать как один узел d.
Поскольку после преобразований ток, который течет через R6, изменился, то обозначим его I’6.
Граф для преобразованной схемы будет иметь вид рис. 3.
Рис. 3
Узловые и контурные матрицы удобно составлять по графу схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением, равным нулю. Если такие ветви имеются, то их следует исключить, используя эквивалентные преобразования [2].
Составим узловую матрицу А для графа (рис. 3), выбрав опорным узел d:
Ветви
Узлы
Составим контурную матрицу В для направлений обходов независимых контуров:
Ветви
Контуры
Связь между узловой и контурной матрицами определяется формулами:
Составим диагональную матрицу сопротивлений ветвей R:
,
а также матрицу ЭДС ветвей Е:
Найдем контурные токи по формуле
Найдем реальные токи в ветвях по формуле
Рассчитаем токи I6 и I8 в схеме (рис. 1), применив первый закон Кирхгофа:
Определим UJ, применив второй закон Кирхгофа:
Вт.
Проверим правильность расчета с помощью баланса мощности:
.
.
Итак, токи в линейной электрической цепи рассчитаны верно.
Таким образом, для оптимизации решения электротехнических задач и упрощения процесса составления уравнений возможно и доступно использование узловой и диагональной матрицы.