В математике чрезвычайно обширно используется решение задач с помощью комплексных чисел. Однако, что такое комплексные числа и как они нашли себя в электротехнике [4]?
Для начала рассмотрим формулу Эйлера. Это серьёзная и важная формула, которая объединяет тригонометрические функции 
с экспонентой 
– с функцией, которая не входит в состав периодических функций, но очень часто используется в электротехнике [1].
Формула Эйлера считается базовой формулой при вычислении комплексных напряжений токов в электротехнике [2].
Известно, что свойства большинства математических функций выводят на множестве вещественных чисел, если они на этом множестве существуют. Но, например, уравнение
решения в области вещественных чисел не имеет.
Для того чтобы обеспечить решение таких уравнений, было введено понятие комплексного числа, включающего в себя не только вещественную, но и мнимую часть, которая содержит мнимую единицу, по определению равную
.
Если ввести допущение, что такое число существует, то всё равно очень много математических функций при невыполнении не выводят за множество комплексных чисел, а продолжают рассматривать на множестве вещественных чисел. При этом остаётся немало задач, особенно прикладного характера, решение которых нужно производить с помощью комплексных чисел [5, 6, 8].
Комплексным числом Z в общем случае считают сумму пары чисел – вещественного числа x и произведения yi, где i – есть мнимая часть:
.
Преимуществом комплексных чисел является то, что, практически, все математические операции над комплексными числами не выходят за множество комплексных чисел, то есть результат действия над комплексными числами можно выразить в виде комплексного числа.
Этим активно пользуются при расчётах в электротехнике. В математике для символического изображения мнимой единицы используют обозначение i, но в электротехнике же так принято обозначать ток, поэтому это обозначение заменяют на j, физический смысл же от этого не меняется:
.
Вернёмся, применив эту формулу к тригонометрическим функциям, а именно к 
.
Учтём, что любая функция f(x) при определённых условиях представима в виде степенного ряда, то есть сводится к виду
При разложении функции 
в ряд Маклорена получим:
.
Также распишем ряд Маклорена для функции 
:
.
Точно так разложим на ряд Маклорена функцию 
и получим:
.
Предположим, что х принадлежит множеству комплексных чисел и 
. Для того, чтобы получить формулу Эйлера разобьём этот ряд на два ряда по чётным и нечётным степеням k:
далее в первом и втором слагаемом путём элементарных преобразований вынесем за скобку 
и получим:
Учитывая то, что 
, то получим следующее:
Собственно говоря, мы получили формулу Эйлера, устанавливающую зависимость между экспонентой и тригонометрическими функциями и имеющую вид:
Эта формула существенно помогает упростить математические выражения в комплексной области. Так при описании электромагнитных процессов в цепях переменного тока приходится вычислять много непростых интегралов, что приводит к громоздкому решению. Оказалось, что выполнение поставленных задач упрощается при введении комплексных чисел [3, 7].
Комплексные числа можно представлять в разных формах записи – алгебраической, тригонометрической или показательной – в зависимости от постановки задачи, исходных данных и требуемых результатов, но благодаря формуле Эйлера легко переходить от одной формы записи к другой. Например, переменный ток в цепи можно записать по-разному:
– алгебраическая форма;
=
– тригонометрическая форма;
=
– показательная форма.
При сложении токов в цепях с начальной фазой, равной нулю, сложностей не возникает. Но при сложении токов с разными начальными фазами простая, на первый взгляд, задача приводит к громоздким тригонометрическим вычислениям. Тогда как, используя переход к комплексным числам, эта же задача решается в несколько строк [9, 10].
Если решать задачи электротехники с помощью векторов, то опять же удобно перейти к комплексной записи токов или напряжений и выполнять построения на комплексной плоскости, где горизонтальная ось – ось вещественной части комплексного числа, а вертикальная – ось мнимой части этого же числа.
Комплексные числа также применяются для описания гармонических колебаний в линейных электрических цепях, при этом переход от реальных гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам выражает суть метода комплексных амплитуд, который является моделью исследуемых процессов, где на первое место выдвигаются амплитуды, а время и частоты отодвигаются на задний план. Переход к комплексным значениям позволяет компактно описать один объект сразу двумя величинами.
По сути, переход от реальных гармонических колебаний к комплексным амплитудам есть построение модели с помощью комплексных чисел, которые в этой модели носят названия – комплексный ток, комплексное напряжение, комплексная ЭДС.
Применение комплексных чисел позволяет:
– использовать законы, формулы и методы расчётов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчёта цепей переменного тока;
– упростить некоторые вычисления, заменив графическое решение с использованием векторов на алгебраическое решение;
– рассчитывать сложные цепи, не решающиеся другим путем;
– упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.