В настоящее время трудно переоценить значение инженерной практики в современном мире науки и техники. Инженеры пользуются огромными познаниями в математике, стимулируют научно-технический прогресс, результаты которого определяют поступательное развитие общества. Однако стоит отметить, что данное развитие имеет место, только при тесном взаимодействии математики и технической практики. Инженерное дело, как область интеллектуальной деятельности человека, не может быть реализовано без математического аппарата, на основе которого решаются основные научно-технические задачи. Соответственно и математика не имела бы возможности интенсивного развития, если бы не являлась основным инструментом в научно-технической деятельности. Это значит, что математика и инженерное дело взаимно дополняют друг друга. Таким образом, мы приходим к выводу, что современный инженер, воплощающий инновационные идеи, не может обойтись без уверенных знаний математики [3, 8].
Например, инженер-электротехник для решения основных задач в своей области, в частности расчет параметров электрических цепей, использует уравнения Кирхгофа в матричной форме. В данном случае мы наблюдаем, как благодаря линейной алгебре и ее методам, значительно упрощается процесс длительных расчетов, а значит, увеличивается эффективность инженерной деятельности.
Рассмотрим базовую теорию. Матрица – это прямоугольная таблица чисел, в которой содержатся m строк (или n столбцов) идентичной длины [7].
сокращенно можно записать, где 
(то есть 
) – номер строки, j=1, n (то есть j=1,2,3,… n) – номер столбца [6].
Матрицу размером 
называют матрицу A и обозначают 
. Элементами составляющие матрицу, называются числа aij. Элементы, стоящие на диагонали и идущие из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрица, имеющая одинаковое количество столбцов и строк, называется квадратной [1, 2].
Квадратной матрице A n-го порядка можно сопоставить число 
(или 
, или Δ), называемое ее детерминантом, таким образом:
; 
.
;
.
. 
;
Минором некоторого элемента 
детерминанта n-го порядка называется детерминант n–1-го порядка, получившийся из исходного с помощью вычеркивания столбца и строки, на пересечении которых находится выбранный элемент [2].
Алгебраическим дополнением элемента aij, детерминанта называется минор, взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, и со знаком «-», если сумма нечетная. Обозначается как Aij: 
.
Метод Крамера – это способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с нулевым главным детерминантом матрицы коэффициентов системы [5].
, 
(Формула Крамера)
На примере продемонстрируем расчет электрической цепи с помощью данной теории.
Пример 1.
Дана электрическая цепь (рисунок). Надо определить токи в ветвях, с помощью законов Кирхгофа. Параметры элементов электрической цепи следующие: R1=45 Ом, R2=15 Ом, R3=45 Ом, R1=75 Ом, E1=60 В, E2=450 В.
Схема электрической цепи
Решение. Необходимо выбрать положительные направления искомых токов ветвей и обозначить их на схеме.
Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для узла 1. Выбрав направления обходов контуров, можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа. В итоге можно получить систему из трех уравнений:
Решаем полученную систему по методу Крамера с помощью детерминантов:
;
;
;
;
Находим значения токов по формуле Крамера
Пример 2.
Второй закон Кирхгофа используется для метода контурных токов. С помощью этого метода можно уменьшить число уравнений в системе на n–1. Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока – контурного тока, являющегося расчетной величиной. В заданной системе рассмотрим три контура-ячейки и введем для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3. Смежными ветвями называются ветви, принадлежащие двум смежным контурам. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления. При составлении этих уравнений по второму закону Кирхгофа алгебраически суммируются ЭДС источников в левой части равенства, входящих в контур-ячейку. В правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура. На основании ранее приведенного материала контурные токи рассчитываются следующим образом:
E1=Ik1(r01+R1+R3+R4)+Ik2R3–Ik3R4;
E2=Ik1R3+Ik2(r02+R2+R3+R5)+Ik3R5;
0= –Ik1R4+Ik2R5+Ik3(R4+R5+R6).
Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений:
40=102Ik1+24Ik2–41Ik3;
20=24Ik1+93Ik2+16Ik3;
0=–41Ik1+16Ik2+118Ik3.
Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы Δ и частные определители Δ1, Δ2, Δ3:
;
;
;
Вычисляем контурные токи:
.
Действительные токи ветвей:
I1=Ik1=0,429 А;
I6=Ik3=0,138 А;
I1=Ik1=0,081 А;
I3=Ik1+Ik2=0,429+0,081=0,510 А;
I4=Ik1–Ik3=0,429–0,138=0,291 А;
I5=Ik2+Ik3=0,081+0,138=0,219 А.