Методы математической статистики используются при анализе явлений, которые обладают свойством статистической устойчивости. Сущность данного свойства заключается в том, что результат Х определённого опыта не может быть предсказан с большой точностью, где значение функции 
от результатов наблюдений при увеличении объёма выборки теряет своё свойство случайности и сходится по вероятности с неслучайной величиной θ [9].
В математической статистике применяются следующие оценки [3, 7]:
– несмещённые (значение математического ожидания оценки совпадает со значением оценивающего параметра, то есть 
);
– смещённые (оценка 
);
– эффективные (оценка, которая имеет при заданном объёме выборки n наименьшую дисперсию);
– состоятельные (оценка, которая стремится при 
по вероятности к оцениваемому параметру);
Точечной оценкой называют некоторую функцию результатов наблюдения 
, значение которой принимается за более приближенное в данных условиях к значению самого параметра θ, то есть оценку, определяющую одним числом [5, 2].
Часто, по результатам наблюдений количественного признака X требуется оценить следующие параметры распределения генеральной совокупности:
– генеральная средняя M(X);
– генеральная дисперсия D(X);
В качестве точечных оценок этих параметров выступают выборочная средняя и выборочная дисперсия 
и Dв соответственно [1, 4].
Генеральная средняя – среднее арифметическое значений генеральной совокупности 
:
– с повторениями
Выборочная средняя – среднее арифметическое значение выборки [3, 8].
То есть, имеется выборка объёма n, тогда выборочная средняя равна:
.
Выборочная средняя по данным одной выборки является определённым числом. Также выборочная средняя является несмещённой оценкой математического ожидания.
При увеличении объёма выборки n вся выборочная система стремится к генеральной средней [6, 9].
Генеральной дисперсией называют среднеарифметическое квадратное отклонение значений генеральной совокупности от их среднего значения.
Кроме дисперсий для характеристики рассеивания значений генеральной совокупности вокруг своего среднего также можно пользоваться средним квадратическим отклонением [10].
Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений, наблюдаемых значений выборки от их среднего значения.
Справедлива также формула:
.
Для исправления выборочной дисперсии необходимо умножить её на дробь:
.
Получаем исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.
Также:
– с повторениями.
Для оценки рассеивания выборки служит выборочное среднеквадратическое отклонение.
Теперь рассмотрим, как применяются перечисленные данные при решении задач.
Пример 1.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n=30;
|
xi |
1 |
2 |
4 |
21 |
|
ni |
7 |
30 |
20 |
3 |
Необходимо найти несмещённую оценку генеральной средней и исправленную выборочную дисперсию.
Решение: Чтобы найти несмещённую оценку генеральной средней необходимо применить формулу:
;
Подставим значения из условия:
Зная выборочную среднюю, найдём выборочную дисперсию:
Теперь можем найти исправленную дисперсию:
.
Ответ: 
.
Вывод. Таким образом, по выборочной совокупности значений, наблюдаемого количественного признака, можно вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.