Случайность отражает объективно Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности существующей реальности, которая находится под воздействием бесчисленного множества взаимосвязанных факторов, не поддающихся учету [3, 8].
Рассмотрим значение термина «случайный» применительно к явлениям, событиям, величинам и функциям.
Под случайным явлением понимается такое явление, которое при неоднократности воспроизведении одного и того же опыта происходит каждый раз по иному. В системах электроснабжения случайные явления – это, как правило, процессы изменения величин, характеризующих параметры режима: тока I(t), напряжения U(t), активной мощности P(t), реактивной мощности Q(t), происходящие во времени. Всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление, называется опытом [5].
Например: фиксация по счетчикам активной энергии через равные промежутки времени t дискретных значений мощности P в наиболее загруженную смену или в период зимних (летних) рабочих суток.
Результаты опытов – это фиксированные последовательности дискретных значений мощности (P) группы работающих электроприемников (см. рис. 1). Каждое событие, происходящее в окружающем мире, является результатом воздействия большого числа других событий, влияющих на возможность возникновения данного [1].
Рис. 1. Последовательность дискретных значений мощности группы ЭП
Случайным называют событие, которое в данных конкретных условиях может произойти или не произойти. Примером таких событий является состояние электроприемника – включенное или отключенное. Достоверное событие – это событие, которое в результате опытов обязательно произойдет [4, 7].
Например: наличие напряжения на шинах силового трансформатора при нормально работающей системе электроснабжения (см. рис. 2) [9].
Рис. 2. Схема электроснабжения
Вероятность появления такого события, назовем его событием А, равна 1:
p(A) = 1.
Невозможное событие – это событие, которое не может произойти в результате опыта. Примером является отсутствие напряжения на шинах низкого напряжения (НН), то есть U2=0, при наличии его на шинах источника питания и нормальной работы всех элементов схемы (рис. 1); одновременный отказ и работа электроприемника. Вероятность появления невозможного события равна нулю:
р(А) = 0.
Только на основании большого числа опытов наблюдающий может установить является событие случайным, достоверным или невозможным.
Рассмотрим противоположные события. События А и В называются противоположными, если они являются несовместимыми и образуют полную группу событий. Если происходит событие A, то не происходит событие B в полной группе событий, и наоборот [2].
Что же такое полная группа событий? С этим важным понятием теории вероятностей в электроэнергетике встречаются довольно часто.
Случайные события А1, А2,…, Аn образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Сумма вероятностей случайных событий, составляющих полную группу событий, равна 1 [6]:
р(А)=р(А1)+ р(А2)+ р(А3)+…+ р(Аn)=1. (1)
Отсюда, сумма вероятностей противоположных событий А и В равна 1:
р(А) + р(В) =1. (2)
Например, зная вероятность отказа элемента электрической цепи q(t), можно найти вероятность его безотказной работы p(t), т. к. отказ и работа – противоположные случайные события:
p(t)=1– q(t). (3)
Задача. Определить вероятность перерыва электроснабжения в схеме, показанной на рис. 3.
Рис. 3. Схема электропередачи
Известны вероятности отказов элементов схемы:
Определим вероятности безотказной работы каждого элемента схемы как противоположное событие:
Эту задачу можно решить двумя способами: по теореме сложения для совместных событий (I способ) и через противоположные события (II способ).
I Способ
Одновременно могут отказать и один, и любые два, и любые три, и четыре элемента, поэтому вероятность перерыва в электроснабжении будет:
Подставляем вместо вероятностей отказов их значения, получим:
.
Учитывая, что произведение двух и более вероятностей отказов – величины практически равные нулю, можно записать:
Сравнивая два результата, видно, что погрешность второго решения составляет 0,9 %. Следовательно, в электроэнергетике при последовательном соединении небольшого количества элементов вероятность отказа схемы (перерыва в электроснабжении) определяется как сумма вероятностей отказов ее элементов.
II Способ
В предыдущем случае точные расчеты громоздки, а допущения о пренебрежительности произведения вероятностей при увеличении числа элементов схемы будет приводить к увеличению погрешности расчета. Возможен другой путь. Определим вероятность передачи электроэнергии в рассматриваемой схеме. Для того, чтобы потребитель получил электроэнергию все элементы схемы должны работать, тогда по теореме умножения для совместных событий:
а вероятность отказа схемы определяется как противоположное событие:
