Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

Решение полной системы уравнений Навье-Стокса методом сеток

Рассматривается полная система уравнений Навье Стокса, решения которой описывают течения сжимаемого вязкого теплопроводного идеального газа. В системе выполнен переход от переменной плотности и температуры к удельному объему и давлению. Это позволяет решать систему уравнений с частными производными в нормальной форме относительно производных по времени.

В двухмерном случае для безразмерных переменных эта система имеет вид [1]:

(1)

Здесь – время, – независимые пространственные переменные. Далее, – удельный объем газа, – плотность газа, – давление, – вектор скорости газа с его проекциями на декартовы оси координат . Постоянные коэффициенты в уравнениях – коэффициенты вязкости и теплопроводности, – показатель политропы идеального газа с уравнениями состояния, записанными в безразмерных переменных Для системы (1) рассматривается начально-краевая задача. В области задаются начальные условия вида

(2)

А также краевые условия

(3)

Первые из краевых условий (3) обеспечивает прилипание газа на границах области, а вторые – обеспечивает теплоизоляцию на границах. В соответствии с уравнением состояния , тогда Поэтому для обеспечения теплоизоляции достаточно принять

При построении решений с помощью разностных схем по пространственным переменным вводится равномерная сетка , . Для дискретизации производных выбираются следующие стандартные выражения (4).

(4)

Равенство нулю производной температуры на границах области аппроксимируется уравнениями:

(5)

Схема решения задачи на GPU c распараллеливанием

Некоторые понятия[2].

· хост (host) = центральный процессор (CPU);

· устройство (device) = графический процессор (GPU);

· поток (stream) - логическая последовательность зависимых асинхронных операций, независимая от операций в других потоках;

· нить (thread) - элементарный параллельный процесс. Все нити группируются в иерархию - grid/block/thread

· грид(grid) - множество процессов, порождаемых запуском ядра

· блок (block) - множество нитей, в рамках блока нити могут быть синхронизованы, и могут иметь общую разделяемую (shedder) память.

Нити в блоках и блоки в гриде могут быть представлены в виде одно-, двух- или трёхмерной решетки, мы будем рассматривать одномерный грид и блок.

· варп (warp) - группа нитей, размер варпа 32 нити. Все нити одного варпа выполняются одновременно и синхронно (SIMD) на своём мультипроцессоре.

· ядро (kernel) - функция, параллельно выполняемая потоками на GPU;

Программа состоит из двух частей:

· host-кода (управляющего кода) написанного на обычном С/С++, выполняется на CPU

· device-кода (аппаратного кода) на GPU исполняются специальные функции – ядра(kernel) и функции, вызываемые внутри них.

Ядро является потоковой (stream) функцией – большое количество нитей (threads) параллельно исполняют тело ядра(kernel). Ядро вызывается со стороны CPU, при этом указывается количество блоков и количество нитей в каждом блоке, которые будут его исполнять, а так же номер потока в котором будет выполняться ядро. Если номер потока не указан, то ядро будет выполнено в нулевом потоке. Нулевой поток всегда синхронен.

Потоки бывают синхронные и асинхронные. Синхронный поток означает, что после вызова ядра, CPU будет ждать, когда GPU завершит работу и после продолжит алгоритм. Если поток асинхронен, то CPU после вызова ядра, продолжит выполнять алгоритм, не дожидаясь завершения работы GPU.

Имеем слой элементов с шагом и соответственно[3,4]. На основании пяти элементов данного слоя с шагом по времени вычисляются элементы следующего слоя. На CPU задача решается введением двойного цикла. Идея решения задачи с распараллеливанием заключена в том, чтобы все элементы слоя были вычислены одновременно, то есть на GPU в рамках первого этапа запускается один поток с количеством нитей равном , которые параллельно вычисляют элементы следующего слоя с шагом . Процесс продемонстрирован на рисунке 1. По цветам, черные – вычисленные, белые – необходимо вычислить, желтые – вычисляются.

Рис.1 Первый этап - нахождение элементов в следующем слое на GPU.

2 этап заключается в вычислении граничных элементов. Граничные элементы вычисляются в два асинхронных потока (зеленым выделен первый поток, красным второй поток), первый имеет нитей и каждая нить вычисляет два элемента, второй поток имеет нитей и каждая нить также вычисляет два элемента. Для наглядности процесс показан на рисунке 2.

Рис.2 Второй этап – нахождение краевых элементов на GPU.

Угловые элементы вычисляются в конце второго этапа нитью с глобальным индексом “0”.

Приведем листинг вызова ядер (рис. 3)[5,6], для нахождения элементов слоя. Как видно из листинга первый вызов ядра проходит в нулевом потоке, нулевой поток синхронен, как если бы cudaDeviceSynchronize() (функция синхронизации) вставлен до и после каждой CUDA операции. Второй и третий вызов ядра происходит в асинхронных потоках, то есть они выполняются одновременно.

Рис. 3 – Листинг организации вызова ядер.

Эффективность использования CPU и CPU+GPU

В Табл. 1 приведено программно-аппаратное обеспечение, на котором производились расчеты. В Табл. 2 полученные результаты расчетов.

Программно-аппаратная часть. Таблица 1

Сравнение скорости вычислений Таблица 2