Введение
В настоящее время развитие вычислительной техники позволяет просто и быстро находить значения различных функций. Достаточно набрать на дисплее калькулятора необходимое выражение или выбрать встроенную функцию и мгновенно программа предоставляет числовой результат. Расчетные формулы скрыты от пользователя, поэтому полученный результат воспринимается как точное значение величины. Применение вычислительных алгоритмов всегда приводит к получению приближенных значений искомых величин. В вузовском курсе математики рассматривается формула Тейлора для нахождения значений функции [4]. Ее частным случаем выступает формула Маклорена [4].
Результаты исследования и их обсуждение
Решение задачи о замене функции бесконечным степенным рядом привело Б. Тейлора в 1715 г. к нахождению формулы, которая в дальнейшем получила его имя. Простой вывод формулы был предложен в 1745 г. К. Маклореном. Формулу для оценки погрешности расчетов, если рассматривается конечное число членов ряда, предложил Ж.Л. Лагранж в 1799 г. [1]. В настоящее время формула Тейлора записывается в виде выражения
где Pn(x) – многочлен n-й степени, Rn(x) – остаточный член.
Коэффициенты многочлена Pn(x) находятся через производные функции f(x). Смысл формулы Тейлора хорошо раскрывается содержанием теоремы: если функция f(x) обладает в замкнутом промежутке (a; b) производными до (n + 1) порядка включительно, то 
, где с – некоторое число, лежащее между a и b [1].
Если величина а рассматривается как постоянная, а b как переменная, то b заменяется на х и получается формула, известная как «формула Тейлора», которая имеет вид
где 
Если величину, а приравнять к нулю, то получается формула, известная как «формула Маклорена». Она имеет вид
В учебнике по курсу высшей математики приводится разложение по формуле (2) экспоненциальной, логарифмической и тригонометрических функций синуса и косинуса [3].
Разложение логарифмической функции по формуле (2) имеет вид:
Формула (3) выполняется, если х принадлежит интервалу 
. Формула (2) выполняется для экспоненциальной функции и тригонометрических функций синуса и косинуса, если х принадлежит интервалу 
. Провести исследование поведения логарифмической функции на границах интервала можно с помощью компьютерного математического пакета Mathcad [2].
Система Mathcad служит удобной программной средой для решения разнообразных задач. В состав этого приложения входят такие компоненты как текстовый и формульный редакторы, вычислительный и символьный процессоры, хранилище справочной информации. Визуально ориентированный язык программирования позволяет быстро и успешно освоить возможности системы Mathcad. Пакет обеспечивает проведение не только научных и инженерных расчетов, но его можно использовать и как учебно-исследовательскую лабораторию при изучении математических понятий. Выполнение команд осуществляется через панели инструментов с лаконичными пиктограммами и комментариями [2].
Встроенные функции и операторы создают условия для наблюдения значений функциональных зависимостей, проведения вычислительного эксперимента, построения двух и трех мерных графиков. График функции y = ln(1 + x) и графики полиномов третьей и четвертой степени, составленные по формуле (3), представлены на рис. 1.
Рис. 1.
График функции y = ln(1 + x) существенно отличается от графиков полиномов за пределами интервала . Это наглядно иллюстрирует условия применения формулы (3). Если х принимает значение 1 на верхней границе интервала, то это позволяет найти значение ln2. Степень полинома, который используется для приближенного вычисления А* какой-либо величины А, определяется абсолютной погрешностью Δ [5]. Точное значение величины А принадлежит интервалу (А*– Δ; А*+ Δ). Пусть, например, требуется установить приближенное значение ln2 с погрешностью 0,001. В этом случае модуль остаточного члена |Rn(x)| должен быть меньше 0,001. Такое условие позволяет его отбросить. Если последнее слагаемое полинома 
, то, следовательно, степень полинома Pn(x) будет больше 1000. Значение 0,0005 при округлении до тысячных принимает вид 0,001. Это означает, что приближенное вычисление ln2 целесообразно производить с учетом того, что 
. Расчетная формула для нахождения приближенного значения ln2 с погрешностью 0,001 примет вид
Оператор суммирования системы Mathcad выполняет такую операцию в автоматическом режиме. Точное значение ln2 принадлежит интервалу (0,692; 0,694). Если 
, то в этом случае оценить значение модуля остаточного члена |Rn(x)| можно с помощью вычислительного эксперимента. Пусть, например, необходимо вычислить ln0,2 и ln1,2 с погрешностью 0,001. Расчет приближенных значений ln0,2 и ln1,2 будет проводиться по формулам
Результаты вычислительного эксперимента остаточных членов для формул (4) и (5) представлены в таблице 1.
Таблица 1.
|
n |
|
n |
|
|
5 |
6,6 . 10-2 |
1 |
2,0 . 10-1 |
|
10 |
1,1 . 10-2 |
2 |
2,0 . 10-2 |
|
15 |
2,3 . 10-3 |
3 |
2,7 . 10-3 |
|
20 |
5,8 . 10-4 |
4 |
4,0 . 10-4 |
|
21 |
4,4 . 10-4 |
5 |
6,4 . 10-5 |
Модули остаточных членов |R21(–0,8)| и |R4(0,2)| меньше 0,0005, следовательно, для вычисления ln0,2 используется полином P21(–0,8), а для ln1,2 применяется полином P4(0,2).
Приближенные значения ln0,2 и ln1,2 рассчитываются по следующим формулам
Точные значения ln0,2 и ln1,2 принадлежат интервалам (–1,609; –1,607) и (0,181; 0,183). При нахождении натурального логарифма от числа большего 2, необходимо использовать свойства логарифмов. Например, пусть требуется вычислить ln2,2 и ln5,3 с погрешностью 0,001. Расчет приближенных значений ln2,2 и ln5,3 будет проводиться по формулам
Результаты вычислительного эксперимента остаточных членов для формул (6) и (7) представлены в таблице 2.
Таблица 2.
|
n |
|
n |
|
|
1 |
1,0 . 10-1 |
1 |
3,3 . 10-1 |
|
2 |
5,0 . 10-3 |
3 |
1,1 . 10-2 |
|
3 |
3,3 . 10-4 |
5 |
7,3 . 10-4 |
|
4 |
2,5 . 10-5 |
6 |
2,0 . 10-4 |
|
5 |
2,0 . 10-6 |
7 |
5,5 . 10-5 |
Модули остаточных членов |R3(–0,1)| и |R6(0,325)| меньше 0,0005, следовательно, для вычисления ln2,2 используется полином P3(–0,1), а для ln5,3 применяется полином P6(0,325).
Приближенные значения ln2,2 и ln5,3 рассчитываются по следующим формулам
Точные значения ln2,2 и ln5,3 принадлежат интервалам (0,787; 0,789) и (1,666; 1,668).
Заключение
Применение системы компьютерной математики Mathcad позволяет быстро и эффективно проводить различные вычисления. Нахождение конечной суммы степенных рядов в автоматическом режиме создает условия для организации вычислительного эксперимента при изучении приближенных вычислений. Наглядное восприятие характерных особенностей математических моделей успешно осуществляется построением графиков функциональных зависимостей с помощью специальных операторов. Использование системы Mathcad в учебном процессе способствует более глубокому пониманию математических понятий.