Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

В практике довольно часто встречаются конфликтные ситуации. Игра –это упрощенная модель конфликта.

Простейшим примером конфликтной ситуации является игра с нулевой суммой, или антагонистическая игра, в которой выигрыш однойстороны конфликта в точности совпадает с проигрышем другой [1, 431].

В случае, когда интересы игроков не противоположны, возможны различные варианты в зависимости от того кооперируются ли игроки или

действуют каждый сам по себе [1 – 3].

Парной игрой называется та игра в которойпринимают участие два игрока А и В. Множественной называется игра количество игроков в которой больше двух. Антагонистической игрой называется ситуация в парной игре, в которой игроки преследуют противоположные цели. В подобной игре один из игроков является победителем ровно столько раз, сколько другой является проигравшим. Поэтому функции выигрышей и соответственно игроков А и В связаны между собой следующим соотношением:

, . (1)

Из равенства 2.1 следует, что , и потому антагонистические игры называют также играми двух сторон с нулевой суммой выигрыша [4, c.73].

Возьмем антагонистическую игру с игроками А и В, которая является конечной. Тогда можно строки некоторой матрицы (таблицы) поставить в соответствие стратегиям игрока А, а столбцы – в соответствие стратегиям игрока В. Матрицей выигрышей игрока А называется такая матрица, в которойна пересечениях строк и столбцов расставлены значения . Аналогичным образом можно составить матрицу (таблицу) В выигрышей игрока Виз значений функции выигрыша игрока В.

В силу равенства (2.1), (то есть матрица В являет собой противоположную транспонированную матрицу А). Следовательно, что матрица В определяется матрицей А, а в свою очередь конечная антагонистическая игра характеризуется только одной матрицей выигрышей (платежной матрицей), которая называется матричной.

Таким образом совокупность полностью определяет матричную игру. Данная совокупность состоит из множества стратегий игрока A, множества стратегий игрока В и матрицы А выигрышей игрока А.

Итак, при выборе первым игроком своейi-ой стратегии, а вторым игроком – своейj-ой стратегии, результатом данного совместного выбора игроков будет платеж соответственно второго игрока первому (который может быть не только денежной суммой, но и любой оценкой полезности результата выбора любым из игроков своих стратегийi и j). Исходя из этого, данная конечная игра с нулевой суммой однозначного определяется матрицей вида:

. (2)

Данная матрица, в свою очередь, имеет название платежной матрицы (или матрицы выигрышей). В ней стратегиям первого игрока соответствуют строки этой матрицы, а стратегиям нашего второго игрока– столбцы этой же матрицы[1, c.432].

При решении практических задач по нахождению матрицы игры, рассматривают матрицу А игры (2х2). В матрице данного вида, как уже было сказано ранее, ходы игрока А расположены по строкам, а ходы игрока Врасположены по столбцам. В самой матрице записаны выигрыши игрока А при соответствующих ходах игроков А, В (где проигрышем будет являться отрицательный выигрыш).

Пример 2.1. [5, c.104].

А и В играют в следующую игру. Игрок А записывает одно из чисел 1, 2, 3, а игрок В записывает одно из чисел 1,2. Если сумма написанных чисел будет четным числом, то это выигрыш игрока А. Если сумма написанных чисел будет нечетным числом, то это проигрыш игрока А. Найти матрицу игры.

Решение. Имеем , , , , . Если А и Внапишут по 1, то сумма 1+1=2 – это выигрыш игрока А. Если А и В напишут 1 и 2 соответственно, то 1+2=3 – это проигрыш игрока А, то есть его выигрыш равен -3. И так далее. Получаем матрицу игры:

.

Выводы

В данной работе рассмотрены основные понятия матричных антагонистических игр. Приведен пример нахождения платежной матрицы игры.