Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

Динамические свойства линейных типовых звеньев в САУ в целом могут быть описаны дифференциальными уравнениями и представлены и представлены графическими характеристиками [1 – 2]. Применяют два типа таких характеристик – временные (переходные) и частотные. Переходные и частотные характеристики однозначно связаны с уравнением звена и наряду с ним являются исчерпывающим описанием свойств звена (САУ).

В данной работе мы предлагаем рассмотрение частотных характеристик линейных типовых звеньев в САУ.

Частотные характеристики описывают отношения установившихся вынужденных колебаний на входе и выходе звена, вызванных гармоническим воздействием на входе [1].

Пусть на вход звена подано монохроматическое воздействие

где амплитуда; угловая частота воздействия.

На выходе звена будут (по окончанию переходного процесса) гармонические колебания с такой же частотой как и входные, но отличающиеся по амплитуде и фазе. В установившемся режиме выходной сигнал звена

где амплитуда установившихся колебаний выхода; фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.

Приамплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты колебаний. Увеличивая от нуля дочастоту колебаний и определяя установившиеся значения амплитуды и фазы выходных (для разных частот), можно получить зависимость от частоты отношения амплитуд и сдвига фаз выходных и входных установившихся колебаний Эти зависимости называются соответственно амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ могут быть получены по передаточной функции подстановкой ; комплексная величина представляет собой функцию и называется амплитудно- фазовой частотной характеристикой АФЧХ.

АЧХ и ФЧХ, представленные в логарифмическом масштабе, называют логарифмическими частотными характеристиками (ЛАХ и АФХ). Асимптотическая ЛАХ – это идеализированная ЛАХ, состоящая из асимптот (отрезки горизонтальных наклонных прямых).

Построение частотных характеристик линейных типовых звеньев в САУ рассмотрим на примере их построения для апериодического звена 2 – порядка.

Пример

Апериодическое звено 2-го порядка описывается передаточной функцией следующего вида:

Значения коэффициента передачи и постоянных времени и равны соответственно: , , .

Построить амплитудно-фазовую (АФХ) (комплексно-частотную (КЧХ)), амплитудно-частотную (АЧХ), фазочастотную (ФЧХ) и асимптотическую логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ) характеристики звена.

Решение. Построим частотную характеристику апериодического звена 2-го порядка с передаточной функцией:

Амплитудно-фазовой (АФХ) (комплексно-частотной (КЧХ)) характеристикой называют геометрическое место концов векторапри изменении частоты от 0 до ∞.

Здесь зависимость модуля A(функцииот частоты

является амплитудно-частотной характеристикой, а зависимость фазыфункции от частоты

является фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Данные расчета сведены в табл. 1.

Таблица 1. Расчетные данные звена

По данным табл. 1 строим АФХ (рис. 1), АЧХ (рис. 2), ФЧХ (рис. 3).

Асимптотическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) (рис. 4) соответствует выражению

По оси абсциссе отложим логарифм частоты в декадах (и сама частота , ), по оси ординатв децибелах.

Вначале проводим вспомогательные вертикальные линии через сопрягающие частоты

Левее первой сопрягающей частоты (), выражение (1) заменяется приближенным

,

которому соответствует прямая с нулевым наклоном (первая асимптота LАЧХ). Для частот выражение (1) заменяется приближенным

,

которому соответствует прямая с отрицательным наклоном

(вторая асимптота).

Для частот выражение (1) заменяется приближенным

,

которому соответствует прямая с отрицательным наклоном

(третья асимптота).

Данная ЛАЧХ показана на рис. 4.

Рис. 1. АФХ

Рис. 2. АЧХ

Рис. 3. ФЧХ

Рис. 4. ЛАЧХ

Выводы.

В данной работе рассмотрены основные частотные характеристики САУ и их типовых звеньев. Приведен пример вычисления и изображения частотных характеристик апериодического звена 2 – порядка.