Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Замыслов В.Е. 1 Маркин Е.Е. 1 Скачков П.П. 1

---

1 Уральский государственный университет путей сообщения

В статье предлагается реализация массово-параллельных вычислений, для полной системы уравнений Навье-Стокса, решения которой описывают трехмерные течения сжимаемого вязкого теплопроводного идеального газа; визуализация линий тока в течениях полученных в результате моделирования разностными методами; изучение возникающих вихревых движений в газе при малых начальных возмущениях на фоне простой ударной волны. Существенным при решении такого рода задач являются граничные условия. Условия не протекания и условия прилипания сразу приводят к изменению характера течения газа. В работе представлены визуальные трехмерные модели вихревых течений газа и ударных волн в различные моменты времени. Компьютерное моделирование отмеченных явлений проводится при нормальных температурах. Построение графических моделей представленных газовых явлений осуществляется с использованием пакета программ Microsoft Visual Studio 2015 и программно-аппаратная архитектура для параллельных вычислений CUDA Toolkit 8.0.61 for Windows. Приводится способ решения задачи на графическом(GPU) и центральном(CPU) процессорах. Изучаются способы организации нитей и потоков и их взаимодействий. Для дифференциальных уравнений, в трехмерном случае, строятся уравнения в конечных разностях, задаются начальные и граничные условия.

Статья в формате PDF

523 KB

уравнения газовой динамики

разностные методы

массово-параллельные вычисления

гетерогенные вычислительные системы

визуализация линий тока

вихревые течения газа.

1. Баутин С.П., Замыслов В.Е. Представление приближенных решений полной системы уравнений Навье-Стокса // Вычислительные технологии. М.: − 2012. − Т. 17, №3. − С. 3−12. ISSN 1560-7534.

2. Баутин С.П., Дерябин С.Л., Крутова И.Ю., Обухов А.Г. Разрушительные атмосферные вихри и вращение Земли : Монография. Екатеринбург: УрГУПС, 2017.–335 с. ISBN 978-5-94614-398-1

3. Маркин Е.Е., Скачков П.П. Гетерогенные параллельные вычисления на примере решения полной системы уравнений Навье-Стокса методом сеток. Международный студенче-ский научный вестник. Выпуск 5. 2017

4. Боресков А. В. Предисл.: Садовничий В. А. Параллельные вычисления на GPU. Архи-тектура и программная модель CUDA: Учебное пособие. Издательство Московского университета, 2012 Перепелт, 336 стр. ISBN: 978-5-211-06340-2

5. “Параллельное программирование с CUDA. Часть 1: Введение” Веб страница. Дата обра-щения 20.07.2017 URL: https://habrahabr.ru/company/epam_systems/blog/245503/

Введение. Моделирование задач гидро- и аэродинамики приводит к системам дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых (за исключением некоторых простых случаев) приводит к необходимости использовать для интегрирования методы сеток. Нелинейность уравнений часто предполагает использование явной разностной схемы вычисления неизвестных функций. Этот факт и многомерность задач кратно увеличивает время счета даже для современных компьютеров. В [3] было показано, что при помощи гетерогенных вычислительных систем машинное время можно сократить до приемлемых величин. Гетерогенными вычислительными системами называют системы, где для решения общей задачи используются различные типы вычислительных блоков.

В рамках данной работы будет рассмотрено ускорение расчетов при помощи графических карт, реализующие массово-параллельные вычисления общего назначения. Примером данной технологии является NVidia CUDA (Compute Unified Device Architecture) — программно-аппаратная архитектура для параллельных вычислений на NVidia GPU.

Указанный подход позволил в данной работе моделировать сложные трехмерные вихревые течения в вязком теплопроводном газе. Другой проблемой является описание результатов моделирования. Если для двумерных течений удовлетворительным наглядным описанием является анимация поверхностей изучаемого параметра газа по времени [1], то для трехмерных задач была выбрана визуализация линий тока элементов газа.

Результаты исследования и их обсуждение. Проблема рассматривается на основе применения полной системы уравнений Навье-Стокса, решения которой описывают течения сжимаемого вязкого теплопроводного идеального газа представленная в векторной форме. В трехмерном случае для безразмерных переменных эта система имеет вид [2]:

(1)

В системе (1) – время, – независимые пространственные переменные, – плотность газа, – давление, – вектор скорости газа с его проекциями на декартовы оси координат . Постоянные коэффициенты в уравнениях – коэффициенты вязкости и теплопроводности, – показатель политропы идеального газа с уравнениями состояния, записанными в безразмерных переменных

Для системы (1) рассматривается начально-краевая задача. В выделенной области задаются начальные (2) и краевые условия (3)

(2)

(3)

Первые три краевых условия для составляющих скорости обеспечивают прилипание газа на границах области, а вторые, для нормальных производных, обеспечивают теплоизоляцию на границах.

При построении решений с помощью разностных схем по пространственным переменным вводится равномерная сетка , , .

Для дискретизации производных выбираются следующие стандартные выражения (4).

(4)

В формулах (4) под символомпонимается любая из искомых функций

Равенство нулю производной температуры и плотности на границах области аппроксимируется уравнениями:

(5)

Формулы продолжения расчетных величин по непрерывности на границу области имеют вид:

(6)

Символ обозначает составляющие скорости , плотность и температуру.

Конкретный вид граничных условий вытекает из требований решаемой задачи (3), (5), (6) или их комбинации для различных границ.

Схема решения задачи на GPU c распараллеливанием

Схема распараллеливания вычислений в двумерном случае, обладающая большей наглядностью, рассматривалась в работе [3].

В вычислениях данной работы при обращении к графическому процессору указывается количество блоков и количество нитей в каждом блоке, которые будут его исполнять, а так же номер потока в котором будет выполняться ядро [3,4,5].

Имеем слой элементов с шагом и соответственно. На основании вычисленных внутренних элементов данного слоя с шагом по времени вычисляются элементы следующего слоя. На CPU задача решается введением тройного цикла. Идея решения задачи с распараллеливанием заключена в том, чтобы все элементы слоя были вычислены одновременно, то есть на GPU в рамках первого этапа запускается один поток с количеством нитей равном , которые параллельно вычисляют элементы следующего слоя с шагом . Второй этап заключается в вычислении краевых элементов. Краевые элементы вычисляются в три асинхронных потока. Угловые элементы вычисляются в конце второго этапа нитью с глобальным индексом «0».

Рассмотрим моделирование вихревого течения и ударной волны с вихревым возмущением.

Вихревое течение. Выберем начальные условия (7) и граничные условия вида (6)

(7)

Такой выбор предполагает закрутку движения элементов газа с момента начала моделирования . На рис. 1-3 показано развитие вихревого течения, возникающего в соответствии с начальными условиями (7). Развивающийся процесс приводит к появлению вращения в отрицательном направлении, что видно на рис. 1. Кроме того, можно отметить на следующих рисунках быстрое затухание вращения связанное с учетом вязкости и теплопроводности газа.

Рис. 1. Развитие течения через t = 5 с.

Рис. 2. Развитие течения через t = 10 с.

Рис. 3. Развитие течения через t = 16 с.

2. Моделирование ударной волны с вихревым возмущением

Выберем начальные условия:

Граничные условия определим формулами:

Компоненты скоростей на гранях зададим с помощью линейной интерполяции выражениями:

В начальный момент задана температура, плотность и граничные условия, предполагающие формирование ударной волны. Моделируемый процесс приводит к появлению сложного вращательно-поступательного движения газа (рис. 4,5).

Рис. 4. Течение в начале моделирования .

Рис.5. Течение в момент времени .

Заключение. Из-за наличия вязкости все течение с увеличением времени стабилизируется к состоянию однородного покоя. По оценкам при различных граничных и начальных условиях это время имеет порядок сек. Нет, однако, необходимости в таких расчетах, так как уменьшение амплитуды колебаний температуры как в вихревой так и ударной части волны позволяет экстраполяцию на большие времена.

Применение стандартных программ пакета MatLab позволяет визуализировать результаты моделирования вихревых течений и ударных волн с вихревыми возмущениями.

Библиографическая ссылка