Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РАСЧЕТУ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Мазницын А.Ш. 1 Тарасова К.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
Данная статья посвящена применению матрично-топологического метода для расчета линейных электрических цепей. Существующие методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методу контурных токов, эквивалентного генератора, наложения и методу узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Но их применение без использования топологических матриц рационально для относительно простых схем. Поэтому применение матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в персональный компьютер, что особенно важно и удобно при расчете сложных разветвленных схем. Анализ процессов в линейных электрических цепях вызывает большой интерес в электротехнике. Использование матрицы при расчете электрической цепи позволяет оптимизировать и ускорить процесс решение электротехнических задач.
матрично-топологический метод
линейные электрические цепи
контурная матрца
узловая матрица
диагональная матрица
реальные токи
1. Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 511–513.
2. Гулай Т.А., Желтяков В.И., Применение систем линейных алгебраических уравнений при расчете электрических цепей // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 522–524.
3. Гулай Т.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Применение технических средств обучения в процессе математической подготовки студентов инженерных направлений // Вестник АПК Ставрополья. – 2014. – № 1 (13). – С. 10–13.
4. Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. – 2011. – № 12. – С. 62–63.
5. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2 // Международный журнал экспериментального образования. – 2012. – №2. – С. 81–82.

Для характеристики линейных электрических цепей используются линейные уравнения для токов и напряжений. Линейные электрические цепи можно заменить линейными схемами замещения из линейных пассивных (резистивные элементы) и активных элементов (постоянные источники ЭДС или источники тока) с линейными вольтамперными характеристиками [3].

Линейные электрические цепи имеют следующие свойства: принцип наложения и эквивалентного генератора, принцип взаимности, теорема о линейных соотношениях, теорема компенсации. Эти свойства учитываются при выборе методов расчета и свойств линейных электрических цепей. Наиболее применимы: метод эквивалентного преобразования, расчет схем с использованием законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора, метод наложения, применение матриц (узловая, диагональная, матрица сопротивлений). Матрицы удобно составлять по графу схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением, равным нулю. Рассмотрим применение матриц к расчету линейных электрических цепей [1].

Задача: рассчитать электрическую цепь, применив матрично-топологический метод.

Дано: E1 = 120 В, E2 = 210 В, E9 = 60 В, I = 2 А, R1 = 25 Ом, R2 = 10 Ом, R2 = 8 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 34 Ом, R6 = 30 Ом, R7 = 20 Ом, R8 = 2 Ом.-

Схема:

mzn1.tif

Рис. 1

Решение. Для того чтобы составить граф этой схемы, необходимо исключить из ветви ЭДС E9, перенеся её через узел f, и заменить источник тока J на источник ЭДС E6 = IR6.

Преобразованная схема будет иметь вид рис. 2.

mzn2.tif

Рис. 2

Примечание. На полученной схеме узлы d и f допустимо рассматривать как один узел d.

Поскольку после преобразований ток, который течет через R6, изменился, то обозначим его I’6.

Граф для преобразованной схемы будет иметь вид рис. 3.

mzn3.tif

Рис. 3

Узловые и контурные матрицы удобно составлять по графу схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением, равным нулю. Если такие ветви имеются, то их следует исключить, используя эквивалентные преобразования [2].

Составим узловую матрицу А для графа (рис. 3), выбрав опорным узел d:

Ветви

mzn1.wmf

Узлы

Составим контурную матрицу В для направлений обходов независимых контуров:

Ветви

mzn2.wmf

Контуры

Связь между узловой и контурной матрицами определяется формулами:

mzn3.wmf

Составим диагональную матрицу сопротивлений ветвей R:

mzn4.wmf,

а также матрицу ЭДС ветвей Е:

mzn5.wmf

Найдем контурные токи по формуле

mzn6.wmf

Найдем реальные токи в ветвях по формуле

mzn7.wmf

Рассчитаем токи I6 и I8 в схеме (рис. 1), применив первый закон Кирхгофа:

mzn8.wmf

mzn9.wmf

Определим UJ, применив второй закон Кирхгофа:

mzn10.wmf Вт.

Проверим правильность расчета с помощью баланса мощности:

mzn11.wmf.

mzn12.wmf.

Итак, токи в линейной электрической цепи рассчитаны верно.

Таким образом, для оптимизации решения электротехнических задач и упрощения процесса составления уравнений возможно и доступно использование узловой и диагональной матрицы.


Библиографическая ссылка

Мазницын А.Ш., Тарасова К.А. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РАСЧЕТУ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18218 (дата обращения: 14.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074