Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ РАСЧЕТА RC-ЦЕПЕЙ

Лабынцев А.C. 1 Петрищев Д.Е. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
В данной статье мы рассмотрим метод использования таблицы преобразований Лапласа для расчёта переходных процессов в RC-цепочке. Преобразование Лапласа, находит широкое применение в теории цепей. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими. В качестве примера возьмём схему для расчёта переходных процессов, а также применим основное уравнение для конденсатора. Преобразуем данное уравнение, приведём к дифференциальному виду, применим таблицу Лапласа, после чего приведём уравнение к явному виду и упростим выражение. Выведем формулу образа тока, используя таблицу преобразования Лапласа. Найдем напряжение на емкости. Для решения уравнения, мы используем, только таблицу преобразования Лапласа, что позволит нам сократить время на решение данного уравнения.
расчет
RC-цепи
таблица преобразования Лапласа
1. Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 511–513.
2. Гулай Т.А., Желтяков В.И., Применение систем линейных алгебраических уравнений при расчете электрических цепей // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 522–524.
3. Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Математика: рабочая тетрадь. – Ставрополь, 2015.
4. Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. – 2011. – № 12. – С. 62–63.
5. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2 // Международный журнал экспериментального образования. – 2012. – №2. – С. 81–82.
6. Мелешко С.В., Зорина Е.Б., Попова С.В., Гулай Т.А., Самостоятельная работа как важнейшее средство повышения профессионально-познавательной и творческой активности будущих специалистов // Theoretical & Applied Science. – 2016. – № 11 (43). – С. 135–138.

Основной смысл использования метода, основанного на использовании таблицы преобразований Лапласа для расчета переходных процессов заключается в том, что f(t) некоторой вещественной переменной t ставится в соответствие функция F(p) комплексной переменной. В итоге имеем, что производные и интегралы от вещественной функции заменяют математическими функциями. В ходе расчета данных уравнений мы находим изображения, а затем, путем обратного преобразования, – оригиналы. Главным этапом практического применения является необходимость определения только независимых начальных условий, что заметно упрощает расчет переходных процессов в электрических цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом [2, 3].

В данной статье мы рассмотрим способ применения преобразований Лапласа для расчета переходных процессов в RC-цепочке.

Для расчетов используется схема (рисунок), имеющая источник ЭДС ε, ключ K, резистор R и последовательно включенный конденсатор C. В исходном состоянии цепь разомкнута, ток отсутствует [4, 6].

lab.tif

RC-цепь для расчета переходных процессов

Рассмотрим переходный процесс, который возникает, когда ключ K замыкается.

Предположим, что lb1.wmf. Появляется ток, конденсатор начинает заряжаться. В любой производный момент времени мы можем записать уравнение по правилу Кирхгофа [5, 6].

Получаем:

lb2.wmf.

Для расчета воспользуемся таблицей преобразования Лапласа.

Таблица преобразований Лапласа

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

lb3.wmf

lb4.wmf

11

lb5.wmf

lb6.wmf

2

lb7.wmf

lb8.wmf

12

lb9.wmf

lb10.wmf

3

t

lb11.wmf

13

lb12.wmf

lb13.wmf

4

tn

lb14.wmf

14

lb15.wmf

lb16.wmf

5

lb17.wmf

lb18.wmf

15

lb19.wmf

lb20.wmf

6

lb21.wmf

lb22.wmf

16

lb23.wmf

lb24.wmf

7

lb25.wmf

lb26.wmf

17

lb27.wmf

lb28.wmf

8

lb29.wmf

lb30.wmf

18

lb31.wmf

lb32.wmf

Вспомним основное уравнение для конденсатора:

lb33.wmf

где C – емкость конденсатора, Q – заряд, который образуется в следствии протекания тока через конденсатор.

После преобразования (таблица) уравнение можно записать в следующем виде:

lb34.wmf.

Таким образом, мы приводим уравнение к дифференциальному виду. Окончательно получаем:

lb35.wmf.

Данное уравнение необходимо решить. Для этого мы вновь воспользуемся таблицей преобразований (таблица) к обоим частям уравнения.

lb36.wmf.

Таким образом, преобразование Лапласа позволяет нам исключить время и найти образ I(p) , после чего, используя таблицу, привести уравнение к явному виду [1].

Упростим выражение, разделив обе части уравнения на общий знаменатель. Получим:

lb37.wmf.

Отсюда находим образ тока:

lb38.wmf

где lb39.wmf – постоянная времени

Чтобы прийти к каноническому виду разделим и умножим знаменатель на τ. Получим:

lb40.wmf.

В итоге получаем:

lb41.wmf.

Осталось найти напряжение на емкости, которое всегда равно:

lb42.wmf

или

lb43.wmf.

Для решения данного уравнения мы не использовали ничего, кроме таблицы преобразований Лапласа.

Рассмотрим еще одну показательную задачу электротехники, решаемую с помощью операционного исчисления.

Найти закон изменения тока i(t) при включении постоянной э.д.с. E0 в последовательный колебательный контур с параметрами R, L и С при условии lb44.wmf.

По закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем

lb45.wmf

где lb46.wmf

lb47.wmf

После подстановки получим дифференциально-интегральное уравнение

lb48.wmf

Обозначим изображение функции-оригинала lb49.wmf через I(p), то есть

lb50.wmf.

Тогда по правилу дифференцирования оригинала и правилу нахождения изображения интеграла от данной функции-оригинала находим

lb51.wmf

и lb52.wmf,

а lb53.wmf.

Подставив найденные изображения, получим операторное уравнение

lb54.wmf

Решая это алгебраическое уравнение относительно изображения I(p), имеем

lb55.wmf

или lb56.wmf.

Обозначим

lb57.wmf

Тогда, выделяя полный квадрат в знаменателе, получим

lb58.wmf

По таблице с учетом свойства линейности восстановим оригинал

lb59.wmf.

Вывод. В реальном колебательном контуре существуют свободные колебания тока, которые носят затухающий характер (lb60.wmf – коэффициент затухания).


Библиографическая ссылка

Лабынцев А.C., Петрищев Д.Е. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ РАСЧЕТА RC-ЦЕПЕЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18214 (дата обращения: 14.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074