Основными уравнениями математической физики для случая, когда искомая функция u зависит от двух независимых переменных, являются следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.
I. Волновое уравнение
.
Это уравнение является простейшим уравнением с частными производными второго порядка гиперболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и продольных колебаниях стержней, о звуковых и электромагнитных колебаниях, о колебаниях газа и т.д.
II. Волновое уравнение
.
Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей и газов, некоторые вопросы теории вероятностей и т.д.
III. Уравнение Лапласа
,
представляющее простейшее уравнение эллиптического типа. К решению этого уравнения сводятся задачи о свойствах стационарных электрических и магнитных полей, о стационарном распределении тепла в однородном теле, задачи гидродинамики, диффузии и т.д.
Замечание 1. В общем при постановке задачи исследования следует учитывать, что физическое явление может носить одномерный, двухмерный и трёхмерный характер, а также быть стационарным (не меняющимся во времени).
Двухмерное волновое уравнение имеет вид:
которое описывает колебания мембраны и поверхности несжимаемой жидкости.
В конкретных задачах, сводящихся к уравнениям математической физики, всегда ищется не общее, а частное решение уравнения, удовлетворяющее некоторым дополнительным определённым условиям, вытекающим из физических соображений и особенностей данной задачи.
Такими дополнительными условиями являются:
а) начальные условия, относящиеся обычно к начальному моменту времени (
), с которого начинается изучение данного явления;
б) граничные условия, то есть условия, заданные на границе рассматриваемой среды (области), внутри которой находится решение составленного ими данного дифференциального уравнения.
Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.
Задача, состоящая в нахождении частного решения уравнений при начальных условиях называется задачей Коши.
Задача математической физики, в которой учитываются как начальные, так и граничные условия, называется смешанной задачей (задачей Коши общего вида).
Для решения уравнений математической физики обычно применяются:
а) метод Даламбера (метод характеристик),
б) метод Фурье (метод разделения переменных).
Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
. (1)
Для получения общего решения уравнения (1) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений [3]:
(2)
Если с=0, то система сводится к одному уравнению
.
Если 
общий интеграл уравнения, тогда
– общее решение.
Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.
Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка. Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных [2, 5].
Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:
(3)
где a, b, c – это некоторые функции от x, y, которые имеют непрерывные производные до второго порядка включительно.
Для того чтобы привести уравнение (3) к каноническому виду, необходимо записать так называемое характеристическое уравнение (4):
(4)
из которого выходят два уравнения:
;
и найти их общие интегралы.
В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимых переменных можно записать в виде:
,
где
Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся диффузионные, тепловые процессы, зависящие от времени [1, 6].
Методы решения уравнений математической физики
Все методы решения этих уравнений можно разделить на две группы:
1. Аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении
2. Уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;
3. Численные методы решения (с помощью ЭВМ).
Пример: Найдите функцию w=w(x,t), как решение уравнения 
, где a>0, а=const, при начальном условии
.
Решение 
– это уравнение (уравнение переноса) в частных производных:
. (1.1)
Характеристическое уравнение для (1.1) имеет вид
(1.2)
,
где C – произвольная постоянная. Общее решение уравнения (1.1), имеет вид бегущей волны:
. (1.3)
Из (1.3) видно, что а – скорость переноса. Так как a >0, то волна бежит слева направо. Подставим начальное условие, получим:
. (1.4)
Получаем:
.
Ответ: Функция 
, является решением уравнения переноса при заданном начальном условии.
Библиографическая ссылка
Каланчук И.В., Попов Н.И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=18212 (дата обращения: 23.11.2024).