Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТРИЦЫ И ЕЕ ДЕТЕРМИНАНТА

Искандарова К.Р. 1 Чубанов А.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
Статья посвящена матричному методу расчета электрических цепей. В ней рассмотрены основные теоретические понятия. На примере показана практичность и рациональность матричного метода в электротехнической инженерной практике. Использование матричных методов расчета позволяет оформить процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем. Также поднимаются вопросы взаимодействия математики и техники в целом. В этой статье мы разберем расчет электрических цепей с использованием матрицы и ее детерминанта, который применяется на практике. Для этого необходимо вспомнить, что такое матрица и ее детерминанты. Рассмотрим, с какой целью в электротехнике применяют матричные методы расчёта сложных электрических цепей.
матричный метод
электрическая цепь
матрица и ее детерминант
1. Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению // Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита: ежегодная 75-я научно-практическая конференция. – 2011. – С. 124–127.
2. Гулай Т.А., Гатауллина К.Р., Фурсов Д.И., Применение классического метода при математическом расчете переходных процессов // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 511–513.
3. Гулай Т.А., Желтяков В.И., Применение систем линейных алгебраических уравнений при расчете электрических цепей // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 522–524.
4. Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Математика: рабочая тетрадь. – Ставрополь, 2015.
5. Гулай Т.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Применение технических средств обучения в процессе математической подготовки студентов инженерных направлений // Вестник АПК Ставрополья. – 2014. – № 1 (13). – С. 10–13.
6. Долгополова А.Ф., Колодяжная Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 // Международный журнал экспериментального образования. – 2011. – № 12. – С. 62–63.
7. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 2 // Международный журнал экспериментального образования. – 2012. – №2. – С. 81–82.
8. Мелешко С.В., Зорина Е.Б., Попова С.В., Гулай Т.А., Самостоятельная работа как важнейшее средство повышения профессионально-познавательной и творческой активности будущих специалистов // Theoretical & Applied Science. – 2016. – № 11 (43). – С. 135–138.

В настоящее время трудно переоценить значение инженерной практики в современном мире науки и техники. Инженеры пользуются огромными познаниями в математике, стимулируют научно-технический прогресс, результаты которого определяют поступательное развитие общества. Однако стоит отметить, что данное развитие имеет место, только при тесном взаимодействии математики и технической практики. Инженерное дело, как область интеллектуальной деятельности человека, не может быть реализовано без математического аппарата, на основе которого решаются основные научно-технические задачи. Соответственно и математика не имела бы возможности интенсивного развития, если бы не являлась основным инструментом в научно-технической деятельности. Это значит, что математика и инженерное дело взаимно дополняют друг друга. Таким образом, мы приходим к выводу, что современный инженер, воплощающий инновационные идеи, не может обойтись без уверенных знаний математики [3, 8].

Например, инженер-электротехник для решения основных задач в своей области, в частности расчет параметров электрических цепей, использует уравнения Кирхгофа в матричной форме. В данном случае мы наблюдаем, как благодаря линейной алгебре и ее методам, значительно упрощается процесс длительных расчетов, а значит, увеличивается эффективность инженерной деятельности.

Рассмотрим базовую теорию. Матрица – это прямоугольная таблица чисел, в которой содержатся m строк (или n столбцов) идентичной длины [7].

is1.wmf

сокращенно можно записать, где is2.wmf (то есть is3.wmf) – номер строки, j=1, n (то есть j=1,2,3,… n) – номер столбца [6].

Матрицу размером is4.wmf называют матрицу A и обозначают is5.wmf. Элементами составляющие матрицу, называются числа aij. Элементы, стоящие на диагонали и идущие из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрица, имеющая одинаковое количество столбцов и строк, называется квадратной [1, 2].

Квадратной матрице A n-го порядка можно сопоставить число is6.wmf (или is7.wmf, или Δ), называемое ее детерминантом, таким образом:

is8.wmf is9.wmf; is10.wmf.

is11.wmf is12.wmf;

is13.wmf.

is14.wmf. is15.wmf;

is16.wmf

is17.wmf

Минором некоторого элемента is18.wmf детерминанта n-го порядка называется детерминант n–1-го порядка, получившийся из исходного с помощью вычеркивания столбца и строки, на пересечении которых находится выбранный элемент [2].

Алгебраическим дополнением элемента aij, детерминанта называется минор, взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, и со знаком «-», если сумма нечетная. Обозначается как Aij: is19.wmf.

Метод Крамера – это способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с нулевым главным детерминантом матрицы коэффициентов системы [5].

is20.wmf, is21.wmf (Формула Крамера)

На примере продемонстрируем расчет электрической цепи с помощью данной теории.

Пример 1.

Дана электрическая цепь (рисунок). Надо определить токи в ветвях, с помощью законов Кирхгофа. Параметры элементов электрической цепи следующие: R1=45 Ом, R2=15 Ом, R3=45 Ом, R1=75 Ом, E1=60 В, E2=450 В.

isk1.tif

Схема электрической цепи

Решение. Необходимо выбрать положительные направления искомых токов ветвей и обозначить их на схеме.

Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для узла 1. Выбрав направления обходов контуров, можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа. В итоге можно получить систему из трех уравнений:

is22.wmf

Решаем полученную систему по методу Крамера с помощью детерминантов:

is23.wmf;

is24.wmf;

is25.wmf;

is26.wmf;

Находим значения токов по формуле Крамера

is27.wmf

is28.wmf

is29.wmf

Пример 2.

Второй закон Кирхгофа используется для метода контурных токов. С помощью этого метода можно уменьшить число уравнений в системе на n–1. Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока – контурного тока, являющегося расчетной величиной. В заданной системе рассмотрим три контура-ячейки и введем для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3. Смежными ветвями называются ветви, принадлежащие двум смежным контурам. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления. При составлении этих уравнений по второму закону Кирхгофа алгебраически суммируются ЭДС источников в левой части равенства, входящих в контур-ячейку. В правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура. На основании ранее приведенного материала контурные токи рассчитываются следующим образом:

E1=Ik1(r01+R1+R3+R4)+Ik2R3–Ik3R4;

E2=Ik1R3+Ik2(r02+R2+R3+R5)+Ik3R5;

0= –Ik1R4+Ik2R5+Ik3(R4+R5+R6).

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений:

40=102Ik1+24Ik2–41Ik3;

20=24Ik1+93Ik2+16Ik3;

0=–41Ik1+16Ik2+118Ik3.

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы Δ и частные определители Δ1, Δ2, Δ3:

is30.wmf

is31.wmf;

is32.wmf;

is33.wmf;

Вычисляем контурные токи:

is34.wmf

is35.wmf

is36.wmf.

Действительные токи ветвей:

I1=Ik1=0,429 А;

I6=Ik3=0,138 А;

I1=Ik1=0,081 А;

I3=Ik1+Ik2=0,429+0,081=0,510 А;

I4=Ik1–Ik3=0,429–0,138=0,291 А;

I5=Ik2+Ik3=0,081+0,138=0,219 А.


Библиографическая ссылка

Искандарова К.Р., Чубанов А.А. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТРИЦЫ И ЕЕ ДЕТЕРМИНАНТА // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18211 (дата обращения: 14.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074