Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Газарян А.Ш. 1 Мокриков С.С. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
При написании статьи был проведен анализ и применены теоретические аспекты методов математической статистики, а также изучены оценки, которые применяются при анализе явлений, которые обладают свойством статистической устойчивости. Применяются следующие оценки: несмещенные, эффективные и состоятельные. Также рассмотрены величины, которые могут помочь при нахождении зависимости. Это: генеральная средняя и генеральная дисперсия. В качестве точечной оценки такого параметра, как генеральная средняя выступает выборочная средняя, а для параметра генеральная дисперсия точечной оценкой является выборочная дисперсия. Для более эффективного закрепления материала в статье приведены примеры с тщательно разобранным решением, которые помогли наглядно ознакомиться с методами точечной оценки.
математическая статистика
дисперсия
генеральная и выборочная средняя
1. Бондаренко Д.В., Бражнев С.М., Литвин Д.Б., Варнавский А.А. Метод повышения точности измерения векторных величин // Наука Парк. – 2013. – № 6 (16). – С. 66–69.
2. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 8–2. – С. 178–179.
3. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Совершенствование экономических механизмов для решения проблем экологической безопасности. // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: II Международная научно-практическая конференция. – 2013. – С. 68–71.
4. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Жукова В.А., Мамаев И.И. Модель экономического роста с распределенным запаздыванием в инвестиционной сфере // Вестник АПК Ставрополья. – 2017. – № 2 (26). – С. 225–228.
5. Литвин Д.Б., Долгополова А.Ф., Мелешко С.В. Cовершенствование механизма управления риском экологического ущерба // Финансово-экономические проблемы развития региона и учетно-аналитические аспекты функционирования предпринимательских структур: Сборник научных трудов по материалам Ежегодной 77-й научно-практической конференции / ФГБОУ ВПО «Ставропольский государственный аграрный университет» «Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу». 2013. С. 471–474.
6. Литвин Д.Б., Шепеть И.П., Бондарев В.Г., Литвина Е.Д. Применение дифференциального исчисления функций нескольких переменных к разработке алгоритма определения координат объекта. // Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона: Материалы Ежегодной 78-й научно-практической конференции. – 2014. – С. 242–246.
7. Писаренко И.Н., Королькова Л.Н., Литвин Д.Б Необходимость исследования IDS как элемента инфраструктуры безопасности // Инновационные направления развития в образовании, экономике, технике и технологиях: Cборник статей. В 2 частях. / ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», Технологический институт сервиса (филиал). – 2016. – С. 139–142.
8. Litvin D., Ghazwan R.Q. Thinking skills product in mathematics among the students of the university // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона материалы. Международной научно-практической конференции, 2014. – С. 5–9.
9. Litvin D.B. Mathematical self-concept among university students // Аграрная наука, творчество, рост: Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции, 2014. – С. 326–329.
10. Litvin D.B., Popova S.V., Zhukova V.A., Putrenok E.L., Narozhnaya G.A. Monitoring of the parameters of intra-industrial differentiation of the primary industry of the traditionally industrial region of southern Russia // Journal of Advanced Research in Law and Economics. – 2015. – Т. 6; № 3. – С. 606–615.

Методы математической статистики используются при анализе явлений, которые обладают свойством статистической устойчивости. Сущность данного свойства заключается в том, что результат Х определённого опыта не может быть предсказан с большой точностью, где значение функции gaz2.wmf от результатов наблюдений при увеличении объёма выборки теряет своё свойство случайности и сходится по вероятности с неслучайной величиной θ [9].

В математической статистике применяются следующие оценки [3, 7]:

– несмещённые (значение математического ожидания оценки совпадает со значением оценивающего параметра, то есть gaz3.wmf);

– смещённые (оценка gaz4.wmfgaz5.wmf);

– эффективные (оценка, которая имеет при заданном объёме выборки n наименьшую дисперсию);

– состоятельные (оценка, которая стремится при gaz6.wmf по вероятности к оцениваемому параметру);

Точечной оценкой называют некоторую функцию результатов наблюдения gaz7.wmf, значение которой принимается за более приближенное в данных условиях к значению самого параметра θ, то есть оценку, определяющую одним числом [5, 2].

Часто, по результатам наблюдений количественного признака X требуется оценить следующие параметры распределения генеральной совокупности:

– генеральная средняя M(X);

– генеральная дисперсия D(X);

В качестве точечных оценок этих параметров выступают выборочная средняя и выборочная дисперсия gaz8.wmf и Dв соответственно [1, 4].

Генеральная средняя – среднее арифметическое значений генеральной совокупности gaz8.wmf:

gaz11.wmf

gaz12.wmf – с повторениями

Выборочная средняя – среднее арифметическое значение выборки [3, 8].

То есть, имеется выборка объёма n, тогда выборочная средняя равна:

gaz14.wmf.

Выборочная средняя по данным одной выборки является определённым числом. Также выборочная средняя является несмещённой оценкой математического ожидания.

При увеличении объёма выборки n вся выборочная система стремится к генеральной средней [6, 9].

Генеральной дисперсией называют среднеарифметическое квадратное отклонение значений генеральной совокупности от их среднего значения.

gaz1.wmf

Кроме дисперсий для характеристики рассеивания значений генеральной совокупности вокруг своего среднего также можно пользоваться средним квадратическим отклонением [10].

Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений, наблюдаемых значений выборки от их среднего значения.

gaz15.wmf

Справедлива также формула:

gaz17.wmf.

Для исправления выборочной дисперсии необходимо умножить её на дробь:

gaz18.wmf.

Получаем исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.

Также:

gaz19.wmf – с повторениями.

Для оценки рассеивания выборки служит выборочное среднеквадратическое отклонение.

Теперь рассмотрим, как применяются перечисленные данные при решении задач.

Пример 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n=30;

xi

1

2

4

21

ni

7

30

20

3

Необходимо найти несмещённую оценку генеральной средней и исправленную выборочную дисперсию.

Решение: Чтобы найти несмещённую оценку генеральной средней необходимо применить формулу:

gaz20.wmf;

Подставим значения из условия:

gaz21.wmf

Зная выборочную среднюю, найдём выборочную дисперсию:

gaz22.wmf

Теперь можем найти исправленную дисперсию:

gaz23.wmf.

Ответ: gaz24.wmf.

Вывод. Таким образом, по выборочной совокупности значений, наблюдаемого количественного признака, можно вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.


Библиографическая ссылка

Газарян А.Ш., Мокриков С.С. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18203 (дата обращения: 14.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074