Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ

Богомолов А.А. 1 Жуков Д.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
В данной статье мы рассмотрим на конкретных примерах применения дифференциального уравнения первого и второго порядка в решении задач по физике. Очень часто в дифференциальное уравнение входят производные функции, а иногда и сама функция, а также независимая переменная и параметры. Так же порядок производных в уравнении может быт хаотичен и могут существовать такие уравнения, в которых и вовсе отсутствуют производные функции, параметры и независимые переменные. Но в любом уравнении должна присутствовать хотя бы одна производная функция. Но не любое уравнение, которое содержит в себе производные неизвестной функции, будет являться дифференциальным уравнением. Главным отличием дифференциальных уравнений от алгебраических является, то что мы ищем не число, а функцию.
математика
физика
дифференциальные уравнения
условие
применение
1. Бондаренко В.А., Ханларов С.Т. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5–2. – С. 143–146.
2. Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета «Аграрная наука – Северо-Кавказскому региону», 2012. – С. 280–283.
3. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Государственное регулирование в системе агробизнеса // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона Ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета «Аграрная наука – Северо-Кавказскому региону», 2012. – С. 202–207.
4. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Коррекция динамического диапазона статистических данных // Статистика вчера, сегодня, завтра Международная научно-практическая конференция, посвященная 155–летию образования Ставропольского губернского комитета статистики, 150–летию образования в России Центрального статистического комитета и Международному году статистики, 2013. – С. 148–152.
5. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Жукова В.А., Мамаев И.И. Модель экономического роста с распределенным запаздыванием в инвестиционной сфере // Вестник АПК Ставрополья. – 2017. – № 2 (26). – С. 225–228.
6. Мелешко С.В., Невидомская И.А., Гулай Т.А. Самостоятельная работа студентов и ее организация при изучении теории вероятностей // Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона: Материалы Ежегодной 78-й научно-практической конференции, 2014. – С. 246–251.

Большинство задач по физике приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Это можно объяснить тем, что многие физические законы являются дифференциальными уравнениями, относительно некоторых функций, которые характеризуют эти процессы. Физические законы представляют собой теоретическое обобщение многих экспериментов и описывают эволюцию искомых величин, как в пространстве, ток и во времени. К примеру второй закон Ньютона является дифференциальным уравнением второго порядка [3, 6]:

bg1.wmf.

Учитывая огромную важность дифференциальных уравнений в общей и теоретической физики, рассмотрим основные понятия и приёмы интегрирования некоторых видов, которые часто встречаются в задачах.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое помимо независимых переменных и неизвестных функции данных переменных, содержит ещё и производные неизвестных функции [1, 4].

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в дифференциальное уравнение называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную, искомую функцию и её производную 1-го порядка [2].

Для составления дифференциальных уравнении часто применяют эти способы:

1) Записать условие на производную искомой величины, используя известные законы физики и физический смысл производной;

2) Определить, какая их величин будет независимой переменной, а какая зависимой;

3) Затем находят линейное приближение для приращения Dy, когда независимая величина переменная получила приращение Dx;

4) Разделив Dy на Dx и переходя к пределу при bg2.wmf, получают дифференциальное уравнение.

Рассмотрим конкретный пример применения дифференциального уравнения 1–го порядка:

Чаша в форме параболоида вращения в начальный момент заполнена водой. В самой нижней части чаши имеется отверстие радиуса r1, через которое вытекает вода. Найти зависимость bg3.wmf уровня воды в чаше от времени, если известно, что высота чаши H, радиус верхнего края R. За какой промежуток времени t из чаши вытечет вся вода?

Решение.

Зависимость между уровнемhводы и в чаше и радиусом r горизонтальной поверхности воды имеет вид

bg6.wmf.

Пусть за промежуток времени bg7.wmf уровень воды изменится на Dh, тогда изменение объёма воды в чаше

bg8.wmf. (1)

С другой стороны, это изменение равно

bg9.wmf, (2)

где bg10.wmf – скорость истечения воды из отверстия.

Приравнивая уравнения (1) и (2) и переходя к пределу при bg11.wmf, получим дифференциальное уравнение

bg12.wmf. (3)

После разделения переменных в 3 и интегрирования, имеем:

bg13.wmf. (4)

Найдём константу С из начальных условий. Так как bg15.wmf, то

bg16.wmf,

поэтому уравнение 4 будет иметь вид

bg17.wmf. (5)

Выражая h из формулы 5, получим искомую зависимость:

bg19.wmf.

Поскольку bg20.wmf, то из 5 найдём время, за которое вытечет вся вода:

bg21.wmf.

Дифференциальное уравнение 2–го порядка – это уравнение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция, первая и вторая производные этой функции.

Рассмотрим пример задачи, который приводит к решению линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний [5].

bog1.tif

Решение. Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний. Если АВ обозначает длину не растянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы тяжести.

По закону Гука

bg22.wmf.

Записываем второй закон Ньютона:

bg23.wmf.

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

bg24.wmf.

В результате получим уравнение колебаний

bg25.wmf

или bg26.wmf, (1)

где bg27.wmf; bg28.wmf.

Уравнение (1) – это дифференциальное уравнение второго порядка.

Составляем характеристическое уравнение:

bg29.wmf. (2)

Вычисляем дискриминант уравнения (2):

bg30.wmf. (3)

Поскольку в данном случае движение тела носит колебательный характер, то его координата должна изменяться по гармоническому закону.

bg31.wmf (4)

В случае отсутствия затухания, bg32.wmf, и тело совершает свободные колебания с периодом

bg33.wmf.

Выражаем отсюда

bg34.wmf,

и определяем постоянную деформирования a:

bg36.wmf.

Подставляя данный задачи, получим ответ

a=19 (Н•с)/м.

Логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд,

bg38.wmf.

Вычисляя n и подставляя значение T, получим

bg39.wmf.


Библиографическая ссылка

Богомолов А.А., Жуков Д.А. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18200 (дата обращения: 14.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074