Большинство задач по физике приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Это можно объяснить тем, что многие физические законы являются дифференциальными уравнениями, относительно некоторых функций, которые характеризуют эти процессы. Физические законы представляют собой теоретическое обобщение многих экспериментов и описывают эволюцию искомых величин, как в пространстве, ток и во времени. К примеру второй закон Ньютона является дифференциальным уравнением второго порядка [3, 6]:
.
Учитывая огромную важность дифференциальных уравнений в общей и теоретической физики, рассмотрим основные понятия и приёмы интегрирования некоторых видов, которые часто встречаются в задачах.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое помимо независимых переменных и неизвестных функции данных переменных, содержит ещё и производные неизвестных функции [1, 4].
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в дифференциальное уравнение называется порядком дифференциального уравнения.
Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную, искомую функцию и её производную 1-го порядка [2].
Для составления дифференциальных уравнении часто применяют эти способы:
1) Записать условие на производную искомой величины, используя известные законы физики и физический смысл производной;
2) Определить, какая их величин будет независимой переменной, а какая зависимой;
3) Затем находят линейное приближение для приращения Dy, когда независимая величина переменная получила приращение Dx;
4) Разделив Dy на Dx и переходя к пределу при 
, получают дифференциальное уравнение.
Рассмотрим конкретный пример применения дифференциального уравнения 1–го порядка:
Чаша в форме параболоида вращения в начальный момент заполнена водой. В самой нижней части чаши имеется отверстие радиуса r1, через которое вытекает вода. Найти зависимость 
уровня воды в чаше от времени, если известно, что высота чаши H, радиус верхнего края R. За какой промежуток времени t из чаши вытечет вся вода?
Решение.
Зависимость между уровнемhводы и в чаше и радиусом r горизонтальной поверхности воды имеет вид
.
Пусть за промежуток времени 
уровень воды изменится на Dh, тогда изменение объёма воды в чаше
. (1)
С другой стороны, это изменение равно
, (2)
где 
– скорость истечения воды из отверстия.
Приравнивая уравнения (1) и (2) и переходя к пределу при 
, получим дифференциальное уравнение
. (3)
После разделения переменных в 3 и интегрирования, имеем:
. (4)
Найдём константу С из начальных условий. Так как 
, то
,
поэтому уравнение 4 будет иметь вид
. (5)
Выражая h из формулы 5, получим искомую зависимость:
.
Поскольку 
, то из 5 найдём время, за которое вытечет вся вода:
.
Дифференциальное уравнение 2–го порядка – это уравнение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция, первая и вторая производные этой функции.
Рассмотрим пример задачи, который приводит к решению линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний [5].
Решение. Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний. Если АВ обозначает длину не растянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы тяжести.
По закону Гука
.
Записываем второй закон Ньютона:
.
Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что
.
В результате получим уравнение колебаний
или 
, (1)
где 
; 
.
Уравнение (1) – это дифференциальное уравнение второго порядка.
Составляем характеристическое уравнение:
. (2)
Вычисляем дискриминант уравнения (2):
. (3)
Поскольку в данном случае движение тела носит колебательный характер, то его координата должна изменяться по гармоническому закону.
(4)
В случае отсутствия затухания, 
, и тело совершает свободные колебания с периодом
.
Выражаем отсюда
,
и определяем постоянную деформирования a:
.
Подставляя данный задачи, получим ответ
a=19 (Н•с)/м.
Логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд,
.
Вычисляя n и подставляя значение T, получим
.
Библиографическая ссылка
Богомолов А.А., Жуков Д.А. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=18200 (дата обращения: 03.12.2024).