Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ ЦИКЛОИДЫ

Довгалёв А.Ю. 1 Горовенко Л.А. 1
1 Армавирский механико-технологический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Кубанский государственный технологический университет»
В статье рассматривается зависимость вида графика циклоиды от различных параметров, в том числе от радиуса производящего круга, а также от расстояния между точкой М и центром окружности. Основная задача исследования – установить зависимость вида кривой циклоиды на графике от параметров её уравнения. В связи с этим приведены понятие, основные свойства и геометрический смысл циклоиды; рассмотрены параметрические уравнения циклоиды и уравнение циклоиды в декартовых координатах. Проведён сравнительный анализ вида графика в зависимости от расположения точки М относительно производящей окружности. Моделирование движения точки проводилось в системе математических и инженерных расчётов MathCAD. На базе проведённых исследований установлена зависимость формы графика от таких исходных данных как диаметр задающей окружности, расположение и удаленность от ее центра чертящего острия.
циклоида
кривая
график
параметры
1. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Циклоидальная_кривая/
2. Горовенко Л.А. Некоторые аспекты представления знаний и организации интерфейса в интеллектуальных обучающих системах // Научный потенциал вуза – производству и образованию: сборник трудов по материалам межвузовской научно-производственной конференции, посвящённой 90-летию КубГТУ. – Армавир: Изд. АМТИ, 2008. С 206-208.
3. Горовенко Л.А. Построение информационно-образовательной среды с элементами искусственного интеллекта: Автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. тех. наук: (05.13.01) / Горовенко Любовь Алексеевна; [Куб. гос. тех. ун-т]. – Краснодар, 2002. – 24 с.
4. Горовенко Л.А. Математические методы компьютерного моделирования физических процессов: учебное пособие / Л.А. Горовенко. – Армавир: РИО АГПУ, 2016. – 104 с.
5. Горовенко Л.А. Математические методы компьютерного моделирования физических процессов // Международный журнал экспериментального образования. – 2017. – № 2. – C. 92-93.
6. Горовенко Л.А. Экспертно-обучающие системы оценки знаний, умений, навыков как основа компьютерной технологии обучения // Научный потенциал вуза – производству и образованию: сборник трудов по материалам межвузовской научно-производственной конференции, посвящённой 90-летию КубГТУ. – Армавир: Изд. АМТИ, 2008. С. 342-344.
7. Горовенко Л.А., Голиус Д.А. Уравнение циклоиды и его приложения в инженерных науках // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016. – С. 73-77.
8. Горовенко Л.А., Довгалёв А.Ю. Исследование параметров уравнения циклоиды // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016. – С. 81-84.
9. Горовенко Л.А., Коврига Е.В. Теория и практика компьютерного моделирования физических процессов: учебное пособие / Л.А. Горовенко. – Армавир: РИО АГПУ, 2017. – 132 с.
10. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С., Математическая шкатулка. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1984, с. 120.
11. Часов К.В., Вандина А.И. Использование в образовательной среде кафедры учебных пособий нового типа // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 7-1. – С. 98-100.

Кривые с древнейших времен привлекали к себе внимание ученых и использовались ими для описания различных природных явлений – от траектории брошенного камня до орбит космических тел.

Кривая, которая получается как траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся без скольжения по прямой, по окружности или другой кривой, называется циклоидальной, что в переводе с греческого языка означает «кругообразная, напоминающая о круге»[1].В 1590 году Г. Галилей, изучая траекторию точки катящейся окружности, построил циклоиду и дал ей название.

Обычно выделяют три типа циклоидальных кривых:

- трохоида (частный случай – циклоида) – окружность катится по прямой;

- эпитрохоида (эпициклоида) – окружность катится по внешней стороне другой окружности;

- гипотрохоида (гипоциклоида) – по внутренней стороне.

Задача нашего исследования – установить зависимость вида кривой циклоиды на графике от параметров её уравнения.

Из параметрических уравнений мы видим, что вид графика циклоиды зависит от радиуса производящего круга, от расстояния между точкой М и центром окружности.

x = a(t – sin t), y = a(1 – cos t).

Проведём исследование графиков циклоиды с помощью системы математических и инженерных расчётов MathCAD. С помощью имеющегося набора инструментов и функций произведем ряд расчетов и построений графиков при различных исходных параметрах уравнений, описывающих циклоиды.

Рассмотрим первый случай, когда точка М лежит на производящей окружности, т. е. a = b, где a = r – радиус производящей окружности, b = d – расстояние от центра производящей окружности до точки М [1, 10].

Циклом будем называть один оборот производящей окружности вокруг своей оси в горизонтальной плоскости.

dovg1.tif

Рис. 1. Исследование первой модели в системе MathCAD

dovg2.tif

Рис. 2. Исследование первой модели с изменёнными параметрами

dovg3.tif

Рис. 3. Исследование удлинённой циклоиды

dovg4.tif

Рис. 4. Исследование параметров уравнения укороченной циклоиды

Из рис. 1 мы видим, что амплитуда циклоиды равна 1, а цикл равен 3.

На рис. 2 мы видим, что при исследовании уравнения с другими параметрами амплитуда кривой равна 2, а период примерно равен 7.

Сравнивая полученные результаты, мы можем сказать, что в случае, когда точка М расположена на производящей окружности, увеличение радиуса данной окружности ведет к увеличению амплитуды циклоиды и её периода.

Рассмотрим второй случай, когда точка М расположена вне производящей окружности, т.е. d > r (рис. 3). Такая циклоида называется удлиненной.

Здесь, также как и в первом случае, с увеличением радиуса производящей окружности увеличивается период циклоиды, а с увеличением расстояния от точки М до центра окружности, растет амплитуда.

Третий случай, когда точка М лежит внутри производящей окружности, т.е. r > d представлен на рис. 4. Такая циклоида называется укороченной.

В этом случае, как и в первых двух период циклоиды зависит от радиуса производящей окружности, а амплитуда всегда меньше её диаметра.

Таким образом, с помощью программного комплекса системы математических и инженерных расчётов MathCAD при использовании необходимых инструментов для построения графиков функций и вычислительных механизмов, был проведён ряд расчетов и построений при различных исходных параметрах уравнения циклоиды [4, 5, 9]. На базе проведённых исследований установлена зависимость формы графика от таких исходных данных как диаметр задающей окружности, расположение и удаленность от ее центра чертящего острия. Полученные результаты будут использованы при разработке информационно-образовательной среды [2, 3, 6, 7, 8, 11] кафедры общенаучых дисциплин Армавирского механико-технологического института.

Стоит заметить, что все проведённые нами исследования были применены лишь к одному виду циклоидальных кривых – простой циклоиде.

Нами запланирована серия экспериментов с варьированием параметров и изменением вида графиков для типа Эпициклоиды и Гипоциклоиды (речь идёт о кривых раскатывания, принадлежащих окружности радиуса R, которые перемещается в пределах другой окружности произвольного радиуса).

В данном случае, к числу варьируемых параметров будет добавлен также радиус окружности, по которой катится производящая циклоиду окружность.

Циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах и свойства их используются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и, таким образом, изучение этих кривых важно с прикладной точки зрения.


Библиографическая ссылка

Довгалёв А.Ю., Горовенко Л.А. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ ЦИКЛОИДЫ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4-7. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17611 (дата обращения: 01.04.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.685