Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ В ИНТЕРАКТИВНОЙ ОБУЧАЮЩЕЙ СРЕДЕ

Веденеев В.Д. 1 Часов К.В. 1
1 Армавирский механико-технологический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Кубанский государственный технологический университет»
В статье изучается вопрос методики изучения пределов, как одной из важнейших тем математического анализа. Решения задач в интерактивном обучающем документе приводятся с использованием педагогической технологии прямых и обратных задач – укрупнённых дидактических единиц (УДЕ), позволяющих изучить поставленную проблему во всём внутреннем многообразии. Исследование вопроса изучения пределов проводится и средствами стандартного математического анализа и в математической среде MathCAD с помощью символьных вычислений. Проработка студентами соответствующего учебного материала по изучению пределов функций проходит в активной и интерактивной формах как на практических занятиях, так и во время самостоятельной подготовки. Оформление студентами интерактивных обучающих документов по изучению пределов позволяет более глубоко изучить понятие предела, а также повысить уровень владения информационными технологиями.
математическая среда MathCAD
вычисление пределов
интерактивный обучающий документ
активное и интерактивное обучение
1. Горовенко Л.А. Экспертная оценка электронного программно-методического комплекса& // Научные труды Кубанского государственного технологического университета.& – 2014. № 54. С.355-361.
2. Смольняков И.М., Часов К.В. Формирование НИР студентов посредством информационной образовательной среды // Международный журнал экспериментального образования.& – 2014.& – №7-1.& – С. 105-106.
3. Часов К.В. Укрупнённые дидактические единицы на занятиях по высшей математике / Часов К.В., Тульчий В.В., Неверов А.В.& – М., 1998.& – 14 с.& – Деп. в& НИИ Высшего Обр. 27.04.98, № 88-98.
4. Часов К.В. Обобщённые укрупнённые дидактические единицы& – компонент проблемного обучения на занятиях по математике / Часов К.В., Тульчий В.В., Неверов& А.В.& – М., 1998.& – 14 с.& – Деп. в& НИИ Высшего Обр. 27.04.98, № 87-98
5. Часов К.В. К вопросу об интерактивности в& обучении& // VIII Международная конференция «Стратегия качества в& промышленности и& образовании». Варна, Болгария, 2012. Международный научный журнал Acta Universitatis Pontica Euxinus& – № S1. 2012. С. 344-346.
6. Часов К.В., Зинченко О.И. Учебные материалы нового типа& // Международный студенческий научный вестник.& – 2016.& – № 5-3.& – С. 350-350; URL: http://eduherald.ru/ru/article/viewid=15941 (дата обращения: 28.01.2017).

Тема вычисления пределов раздела математики «Математический анализ» является одной из основных, без знания которой (наиболее важных её выводов) невозможно успешное изучение последующего учебного материала, кроме того понятие предела используется в математике практически во всех разделах. Поэтому такой актуальной является задача по составлению интерактивного обучающего документа, содержащего соответствующий теоретический учебный материал и примеры по вычислению пределов функций ([1], [6]) и поддержание этого документа в актуальном состоянии.

Во время реализации этой проблемы – ручные вычисления и наполнение решёнными задачами интерактивного обучающего документа, а также решениями из математической среды MathCAD, несомненно, формируются соответствующие обще-профессиональные и профессиональные ЗУН-ы обучающихся ([2]). Решения задач в интерактивном обучающем документе приводятся с использованием педагогической технологии прямых и обратных задач – укрупнённых дидактических единиц (УДЕ) ([3], [4]).

Рассмотрим применение указанной выше педагогической технологии прямых и обратных задач – УДЕ.

УДЕ № 1. (прямая задача – № 274 из известного сборника задач по курсу математического анализа, автор Берман Г.Н.; обратная – авторов статьи).

Прямая задача

Обратная задача

1

2

I. ved01.wmf.

I. ved09.wmf.

Окончание таблицы

1

2

II. ved02.wmf – ?

III. Представим функцию в виде произведения двух:

ved03.wmf

ved04.wmf

ved05.wmf (сокращение с учётом

того, что функция может быть не определена в самой точке х = 1, но предел существует). Далее,

ved06.wmf

ved07.wmf.

Ответ: ved08.wmf.

II. Представить f(x) в виде произведения двух функций.

III. Представим дробь ved10.wmf следующим образом при x = 2 (учитываем здесь тот факт, что функция может быть не определена в самой точке

х = 2, но предел в ней существует):

ved11.wmf.

Следовательно,

ved12.wmf.

Ответ: ved13.wmf.

Приведённый пример является в высокой степени информативным. Очевидно, что решение задания проводится с использованием активности и интерактивности в обучении ([5]), выражающееся в том, что во время решения подобных задач, в мыслительной деятельности обучающихся можем отметить аналитические и синтетические ходы мысли. Отметим также, что в примере выше прямая и обратная задачи не полностью являются таковыми по содержанию – условие и вывод одной не совпадают с выводом и условием другой. Такие задачи являются обратными по сути.

В математическом редакторе MathCAD приведённые выкладки легко проверяются и включаются, наряду с традиционной формой решения УДЕ, в интерактивный обучающий документ. Во время анализа учебных материалов каждый обучающийся может самостоятельно проверить полученный результат, проводя как ручные выкладки, так и производя соответствующие действия в MathCAD. Тем более, что выполнить указанную работу студент должен как домашнее задание.

r1.wmf

Символьные вычисления в MathCAD приводят к аналогичному результату.

r2.wmf

Отметим, что обратная задача, в том виде, в котором она решена в традиционном решении, т.е. по некоторому заданному значению получить выражение, стоящее под знаком предела, не может быть представлена в математической среде MathCAD.

В самом интерактивном обучающем документе могут быть либо вставки в указанное выше решение, которое состоит из текстовой части с формулами, либо гиперссылки, настроенные на какие-либо части текста решения.

После решения всей группой совместно с преподавателем нескольких примеров, аналогичных приведённой выше УДЕ, обучающимся на текущем практическом занятии предлагается решить самостоятельно следующие аналогичные задачи.

№ 1. Если x > ∞, то ved15.wmf. Каково должно быть N, чтобы из ved16.wmf следовало ved17.wmf?

№ 2. Доказать, что ved18.wmf.

№ 3. Найти пределы: 1) ved19.wmf, 2) ved20.wmf.

№ 4. Показать, что при x > ∞ функция ved21.wmf стремится к 0. Каким должно быть N, чтобы при x gt; N было y gt; ?.

№ 5. Самостоятельно составить и решить обратные задачи для примеров 1 – 4.

№ 6. Найти предел функции ved22.wmf. Составить и решить обратную задачу.

№ 7. Найти предел функции ved23.wmf. Составить и решить обратную задачу.

№ 8. Найти предел функции ved24.wmf.

№ 9. Найти предел функции ved25.wmf.

Домашнее задание, кроме составления интерактивного обучающего документа, состоит также в том, чтобы студенты и прямую и обратную задачи составили самостоятельно.

Следующие УДЕ содержат только условия прямых задач. Обучающимся предстоит изучить решение этих задач и составить условие обратных и также их решить.

УДЕ № 2.

I. ved26.wmf.

II. ved27.wmf.

III. Преобразуем заданную функцию:

ved28.wmf

и, тогда

ved29.wmf

ved30.wmf.

Ответ: ved31.wmf.

УДЕ № 3.

I. ved32.wmf.

II. ved33.wmf.

III. Преобразуем функцию к более удобному виду:

ved34.wmf

(используем известные формулы: ved35.wmf и ved36.wmf)

ved37.wmf

ved38.wmf,

после чего рассмотрим предел:

ved39.wmf.

Ответ: ved40.wmf.

УДЕ № 4.

I. ved41.wmf.

II. ved42.wmf.

III. Произведём замену: ved43.wmf, и при x > ∞, также y > ∞:

ved46.wmf.

Ответ: ved47.wmf.

УДЕ № 5.

I. ved48.wmf.

II. ved49.wmf.

III. Преобразуем функцию к виду, подходящему для применения 2-го замечательного предела:

ved50.wmf

введём замену:

ved51.wmf,

тогда при x > ∞, y > –∞, а ved52.wmf можно записать как:

ved53.wmf

ved54.wmf

ved55.wmf

Ответ: ved56.wmf.

Решения оформляются вручную, обратные задачи формулируются и решаются также вручную. Затем всё это оформляется в виде интерактивного обучающего документа.

Очевидно, что резко возрастает уровень абстракции, т.к. зачастую условия прямой и обратной задачи очень далеки друг от друга по содержанию и не выражают в своём условии что-либо конкретное.

Многое зависит от умения студентов работать с использованием информационных технологий, иначе подготовка интерактивных обучающих документов может перерасти в изучение способов и методов работы с компьютерными программами и информационными системами, в ущерб математике.

При достаточном уровне владения информационными технологиями (текстовым редактором Word, редактором формул Microsoft Equation, настройкой гиперссылок, вставкой в документ Word фрагментов из математической среды MathCAD, видеофрагментов по работе в математической среде) у обучающихся довольно быстро формируются требуемые ЗУН-ы по подготовке интерактивных обучающих документов. Как следствие,

– студенты меньше времени тратят на освоение информационных технологий, а больше на математику;

– проработка студентами соответствующего учебного материала по изучению пределов функций проходит в активной и интерактивной формах как на практических занятиях, так и во время самостоятельной подготовки.

Несомненно, такая организация учебного процесса мотивирует обучающихся изучать представленную тему – пределы, а также активно заниматься учебно-исследовательской работой, которая постепенно переходит в научно-исследовательскую.


Библиографическая ссылка

Веденеев В.Д., Часов К.В. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ В ИНТЕРАКТИВНОЙ ОБУЧАЮЩЕЙ СРЕДЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4-6. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17562 (дата обращения: 27.11.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074