Тема вычисления пределов раздела математики «Математический анализ» является одной из основных, без знания которой (наиболее важных её выводов) невозможно успешное изучение последующего учебного материала, кроме того понятие предела используется в математике практически во всех разделах. Поэтому такой актуальной является задача по составлению интерактивного обучающего документа, содержащего соответствующий теоретический учебный материал и примеры по вычислению пределов функций ([1], [6]) и поддержание этого документа в актуальном состоянии.
Во время реализации этой проблемы – ручные вычисления и наполнение решёнными задачами интерактивного обучающего документа, а также решениями из математической среды MathCAD, несомненно, формируются соответствующие обще-профессиональные и профессиональные ЗУН-ы обучающихся ([2]). Решения задач в интерактивном обучающем документе приводятся с использованием педагогической технологии прямых и обратных задач – укрупнённых дидактических единиц (УДЕ) ([3], [4]).
Рассмотрим применение указанной выше педагогической технологии прямых и обратных задач – УДЕ.
УДЕ № 1. (прямая задача – № 274 из известного сборника задач по курсу математического анализа, автор Берман Г.Н.; обратная – авторов статьи).
|
Прямая задача |
Обратная задача |
|
1 |
2 |
|
I. |
I. |
.
.|
Окончание таблицы |
|
|
1 |
2 |
|
II. III. Представим функцию в виде произведения двух:
того, что функция может быть не определена в самой точке х = 1, но предел существует). Далее,
Ответ: |
II. Представить f(x) в виде произведения двух функций. III. Представим дробь х = 2, но предел в ней существует):
Следовательно,
Ответ: |
– ?
(сокращение с учётом
.
.
следующим образом при x = 2 (учитываем здесь тот факт, что функция может быть не определена в самой точке
.
.
.Приведённый пример является в высокой степени информативным. Очевидно, что решение задания проводится с использованием активности и интерактивности в обучении ([5]), выражающееся в том, что во время решения подобных задач, в мыслительной деятельности обучающихся можем отметить аналитические и синтетические ходы мысли. Отметим также, что в примере выше прямая и обратная задачи не полностью являются таковыми по содержанию – условие и вывод одной не совпадают с выводом и условием другой. Такие задачи являются обратными по сути.
В математическом редакторе MathCAD приведённые выкладки легко проверяются и включаются, наряду с традиционной формой решения УДЕ, в интерактивный обучающий документ. Во время анализа учебных материалов каждый обучающийся может самостоятельно проверить полученный результат, проводя как ручные выкладки, так и производя соответствующие действия в MathCAD. Тем более, что выполнить указанную работу студент должен как домашнее задание.
Символьные вычисления в MathCAD приводят к аналогичному результату.
Отметим, что обратная задача, в том виде, в котором она решена в традиционном решении, т.е. по некоторому заданному значению получить выражение, стоящее под знаком предела, не может быть представлена в математической среде MathCAD.
В самом интерактивном обучающем документе могут быть либо вставки в указанное выше решение, которое состоит из текстовой части с формулами, либо гиперссылки, настроенные на какие-либо части текста решения.
После решения всей группой совместно с преподавателем нескольких примеров, аналогичных приведённой выше УДЕ, обучающимся на текущем практическом занятии предлагается решить самостоятельно следующие аналогичные задачи.
№ 1. Если x > ∞, то 
. Каково должно быть N, чтобы из 
следовало 
?
№ 2. Доказать, что 
.
№ 3. Найти пределы: 1) 
, 2) 
.
№ 4. Показать, что при x > ∞ функция 
стремится к 0. Каким должно быть N, чтобы при x gt; N было y gt; ?.
№ 5. Самостоятельно составить и решить обратные задачи для примеров 1 – 4.
№ 6. Найти предел функции 
. Составить и решить обратную задачу.
№ 7. Найти предел функции 
. Составить и решить обратную задачу.
№ 8. Найти предел функции 
.
№ 9. Найти предел функции 
.
Домашнее задание, кроме составления интерактивного обучающего документа, состоит также в том, чтобы студенты и прямую и обратную задачи составили самостоятельно.
Следующие УДЕ содержат только условия прямых задач. Обучающимся предстоит изучить решение этих задач и составить условие обратных и также их решить.
УДЕ № 2.
I. 
.
II. 
.
III. Преобразуем заданную функцию:
и, тогда
.
Ответ: 
.
УДЕ № 3.
I. 
.
II. 
.
III. Преобразуем функцию к более удобному виду:
(используем известные формулы: 
и 
)
,
после чего рассмотрим предел:
.
Ответ: 
.
УДЕ № 4.
I. 
.
II. 
.
III. Произведём замену: 
, и при x > ∞, также y > ∞:
.
Ответ: 
.
УДЕ № 5.
I. 
.
II. 
.
III. Преобразуем функцию к виду, подходящему для применения 2-го замечательного предела:
введём замену:
,
тогда при x > ∞, y > –∞, а 
можно записать как:
Ответ: 
.
Решения оформляются вручную, обратные задачи формулируются и решаются также вручную. Затем всё это оформляется в виде интерактивного обучающего документа.
Очевидно, что резко возрастает уровень абстракции, т.к. зачастую условия прямой и обратной задачи очень далеки друг от друга по содержанию и не выражают в своём условии что-либо конкретное.
Многое зависит от умения студентов работать с использованием информационных технологий, иначе подготовка интерактивных обучающих документов может перерасти в изучение способов и методов работы с компьютерными программами и информационными системами, в ущерб математике.
При достаточном уровне владения информационными технологиями (текстовым редактором Word, редактором формул Microsoft Equation, настройкой гиперссылок, вставкой в документ Word фрагментов из математической среды MathCAD, видеофрагментов по работе в математической среде) у обучающихся довольно быстро формируются требуемые ЗУН-ы по подготовке интерактивных обучающих документов. Как следствие,
– студенты меньше времени тратят на освоение информационных технологий, а больше на математику;
– проработка студентами соответствующего учебного материала по изучению пределов функций проходит в активной и интерактивной формах как на практических занятиях, так и во время самостоятельной подготовки.
Несомненно, такая организация учебного процесса мотивирует обучающихся изучать представленную тему – пределы, а также активно заниматься учебно-исследовательской работой, которая постепенно переходит в научно-исследовательскую.