Введение. Развитие теории эредитарных динамических систем началось с работы итальянского математика Вито Вольтерра [1], там же он ввел термин эредитарность для описания эффекта последействия, или памяти, и впервые исследовал эредитарный осциллятор. Математическое описание эредитарного осциллятора представляло собой интегро-дифференциальное уравнение с ядром, которое называется функцией памяти. В дальнейшем исследования эредитарных динамических систем были связаны с выбором функции памяти. В силу, того что различные среды могут обладать фрактальными свойствами, то функцию памяти целесообразно выбрать степенной. Тогда интегро-дифференциальные уравнения можно переписать как дифференциальные уравнения дробных порядков, теория которых достаточно хорошо разработана [2]. В литературе такие уравнения называют фрактальными, они описывают процессы с частичной потерей памяти. Фрактальные динамические системы наиболее полно исследовались в монографиях [3,4].
В работе обобщена динамическая система ФитцХью-Нагумо, которая была предложена Р. ФитцХью [5] и Дж. Нагумо [6] для описания распространения нервного импульса в мембране. Обобщенная математическая модель содержит уравнение с производными дробных порядков в смысле Герасимова-Капуто и решается с помощью конечно-разностной схемы.
Постановка задачи и метод решения. Классическая нелинейная динамическая система ФитцХью-Нагумо (ФХН) согласно работе [5], имеет вид:
(1)
где 
- константы, удовлетворяющие условиям 
, 
- мембранный потенциал,
- интенсивность раздражителя, в первом приближении константа, которая также может иметь вид прямоугольного импульса или дельта-функции, 
- время процесса, 
- время моделирования.
Динамическая система (1) может быть записана в виде одного уравнения:
, (2)
где 
.Для уравнения (2) ставятся начальные условия
:
. (3)
Задача (2), (3) является задачей Коши, решение которой исследуется в работе [5]. В настоящей работе мы рассмотрим обобщение уравнения (2), введем в него эредитарность с помощью следующего интегро-дифференциального уравнения:
, (4)
где 
и
- функции памяти, характеризующие эредитарность.
Заметим, что если функции памяти представляют собой дельта-функцию, то тогда в системе отсутствует эредитарность, а если функции памяти представляют собой функции Хэвисайда, то тогда система обладает полной памятью. Интерес представляет третий вариант: если функции памяти являются степенными функциями, например,
(5)
где Г(t) - гамма-функция Эйлера, тогда говорят, что система обладает частичной "потерей памяти" [2]. В дальнейшем будем исследовать эредитарные процессы с частичной "потерей памяти". Подставим функции памяти (5) в интегро-дифференциальное уравнение (4). В результате получим:
. (6)
Мы получили интегро-дифференциальное уравнение специального вида. Функции памяти (5) в интегро-дифференциальном уравнении (6) могут быть отличны от степенных функций, что приводит к другим интегро-дифференциальным уравнениям. Если обратиться к определению производной дробного порядка по Герасимова-Капуто, то мы приходим к уравнению:
, (7)
где дробные дифференциальные операторы равны:
определенные в смысле Герасимова-Капуто с дробными порядками 
.
Можно отметить, что в предельном случае 
уравнение (7) переходит в классическое уравнение ФХН (2), поэтому можно считать, что уравнение (2) является частным случаем уравнения (7). Отметим, что уравнение (7) содержит кубическую нелинейность, характерную для осциллятора Дуффинга [7], а также Ван дер Поля [8]. 
Интегро-дифференциальное уравнение ФХН (7) будем называть дробным, или фрактальным уравнением, а процесс, которые оно описывает, будем называть фрактальным, или эредитарным.
Задача Коши (7) и (3) в общем виде не имеет точного решения в силу того, что модельное уравнение является нелинейным, поэтому надо использовать численные методы для ее решения. В качестве численного метода возьмем метод конечно-разностных схем, так как его легко можно реализовать в любой компьютерной среде.
Будем рассматривать равномерную сетку. Для этого разобьем временной интервал 
на
равных частей. В результате получим равномерную сетку 
, где шаг 
, 
. Значения искомой функции
, будем называть ее сеточной функцией. Аппроксимация дробных операторов уравнения (7) осуществляется следующим образом [3,9]:
,
,
, 
.
Подставим эти аппроксимации в модельное уравнение (7). Приходим к следующей конечно-разностной схеме:
(8)
Заметим, что, как правило, нелинейные динамические системы обладают жесткостью при больших значениях управляющих параметров, что приводит к необходимости уменьшить шаг дискретизации в конечно-разностной схеме. В нашем случае в силу ограниченности параметров , жесткость отсутствует, поэтому в уменьшении шага нет необходимости.
Результаты моделирования и их обсуждение. Конечно-разностная схема (8) была реализована в компьютерной программе в среде символьной математики Maple. Рассмотрим применение схемы (8) на примерах, значения параметров были взяты из работы [5]. Сначала рассмотрим случай, когда меняются значения дробных параметров 
и
, а потом и значения параметра .
Рис.1. Осциллограммы, полученные по конечно-разностной схеме (8) при значениях параметров:
и различных значениях и : кривая 1 - 
, кривая 2 - 
, кривая 3 - 
, кривая 4 - 
На рис. 1 приведены осциллограммы, полученные по схеме (8) при различных значениях и . Осциллограмма (3) похожа на осциллограмму из работы [5]. При уменьшении значений и , изменяется форма осциллограмм (смещение периодичности колебаний), однако амплитуда колебаний остается неизменной, что на фазовой плоскости соответствуют предельным циклам (рис.2).
Рис.2. Фазовые траектории
Рассмотрим другой случай: зафиксируем значения и, и будем изменять значения . На рис. 3 приведены осциллограммы для этого случая.
Рис. 3. Осциллограммы, полученные по конечно-разностной схеме (8) при значениях параметров: 
,
и различных значениях : кривая 1 - 
, кривая 2 - 
, `
кривая 3 - 
, кривая 4 - 
В случае (кривая 1) мы видим, что колебания затухают, а фазовая траектория (рис. 4) имеет вид закручивающейся спирали. При уменьшении значений параметра , происходит смещение осциллограмм, но с постоянной амплитудой, что обеспечивает выход фазовых траекторий на предельный цикл (рис. 4).
Рис. 4. Фазовые траектории: кривая 1 - 
, кривая 2 - 
,
кривая 3 - 
, кривая 4 - 
В работе был предложен и исследован эредитарный нелинейный осциллятор ФитцХью-Нагумо. С помощью теории конечно-разностных схем получено численное решение задачи Коши, построены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что параметры и приводят к смещению колебаний осциллятора, но при этом сохраняется постоянство амплитуды, а также изменяется форма фазовых траекторий, которые выходят на предельный цикл. При изменении параметра 
колебания могут быть затухающими, а фазовая траектория для соответствующей точки покоя будет являться устойчивым фокусом.
Введение дополнительных управляющих параметров и , чтобы более гибко моделировать колебательный режим, дает дополнительную параметризацию сигнала. Дальнейший интерес в исследовании эредитарного осциллятора ФитцХью-Нагумо может заключаться в исследовании на устойчивость точек покоя по аналогии с работой [8], а также дальнейшее обобщение, связанное с введением функций 
и 
[10]. Другое направление исследований связано с качественными свойствами конечно-разностной схемы (8) - устойчивостью и сходимостью [9].
Автор выражает благодарность научному руководителю, к.ф.-м.н., профессору РАЕ, Р.И. Паровику за ценные советы и замечания по содержанию данной научной статьи.
Библиографическая ссылка
Липко О.Д. ЭРЕДИТАРНОЕ МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФИТЦХЬЮ-НАГУМО // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 2. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=16890 (дата обращения: 26.12.2024).