Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

• Авторы
• Файлы
• Литература

Логинова Я.А. 1 Долгополова А.Ф. 1

---

1 Ставропольский государственный аграрный университет

Статья в формате PDF

0 KB

1. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б., Донец З.Г. Экономико-математическое моделирование факторов экономического анализа посредством метода линейного программирования // Аграрная наука, творчество, рост: Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции, 2014. – С. 329-332.

2. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 8-2. – С. 178-179.

3. Мамаев И.И., Долгополова А.Ф. Профессиональная направленность в обучении студентов математическим дисциплинам //Аграрная наука, творчество, рост. – 2013. – С. 268-371.

4. Шмалько С.П. Сгущение учебной профессионально ориентированной информации по математике при обучении студентов-экономистов. // Теория и практика общественного развития. – 2011. – №6. – С. 150-155.

5. Шмалько С.П. Формирование профессионально ориентированного мышления у студентов экономических направлений // Культурная жизнь Юга России. – 2010. – № 1. – С. 99-101.

Ни для кого не секрет, что математика – фундаментальная, очень обширная наука, включающая в себя множество разделов. Так же нельзя не отметить её огромное значение в жизни каждого человека и человечества в целом. Практически все экономические и политические процессы тем или иным образом связаны с математическими расчётами, а все остальные науки хотя и в разной степени, но связаны с математикой. Одним из разделов математики является линейная алгебра, с помощью которой происходит изучение объектов линейной природы, векторных (линейных) пространств и т.д.

Первыми исследованиями в области линейной алгебры были решения системы линейных уравнений. Первым, кто уделил наибольшее внимание этой науке, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, который в 1693 г. стал активно применять линейную алгебру на практике. В начале XX века линейная алгебра стала обязательным предметом для изучения в средних и высших образовательных учреждениях.

Что же используется в линейной алгебре? В первую очередь это решение систем линейных уравнений, составление матриц, нахождение детерминантов и изучение векторов и векторных пространств. Чтобы хоть немного вникнуть в сущность линейной алгебры, нужно знать значение основных понятий этого раздела.

Матрица – математический объект, который записывают в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают её размер.

Система линейных уравнений – это объединение m линейных уравнений, каждое из которых содержит n переменных. Записывается в виде:

,

Вектор – направленный отрезок, который можно перемещать в пространстве параллельно самому себе, так же вектор – это элемент некоторого непустого множества, на котором определены две операции: сложение и умножение векторов на вещественные числа.

Векторное пространство – это математическая структура, которая представляет собой множество векторов, для которых определены операции сложения векторов между собой и умножение на число. Если под множеством векторов понимать элементы любой природы, то множество называется линейным пространством.

Нельзя не отметить, что все эти понятия используются не только в линейной алгебре, но и в других сферах, например, в экономике. Так как экономический анализ практически всегда сопровождается математическими подсчётами количественных изменений, линейная алгебра неразрывно связана с ней, хотя это и две разные области знаний, которые имеют разные предметы изучений. Наиболее распространённый метод решения экономических задач – составление матриц, которые имеют широкое применение в экономических исследованиях, так как большинство реальных экономических ситуаций удобно описывать простой и компактной матричной форме.

Например: дана таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы и года выпуска.

Таблицу можно записать в виде матрицы следующим образом:

.

Можно увидеть, что в строках отображены цены автомобилей, прослуживших одно и то же количество лет, а в столбцах – цены автомобилей, выпущенных в одно время, но эксплуатируемых разное количество времени. Таким образом можно увидеть, что каждый элемент матрицы отражает годы эксплуатации автомобиля и год его выпуска.

Применение матриц так же используется при решении экономических задач, рассмотрим это на следующем примере: Предприятие по производству сельскохозяйственной техники выпускает товары трех видов: тракторы (P1), комбайны (P2) и культиваторы (P3) и использует два типа сырья: чёрный металл (S1),и цветной металл (S2). Нормы расхода запасов металла отображены в матрице:

.

где каждый элемент aij показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (90 50 140). Стоимость единицы каждого типа сырья – матрицей-столбцом:

.

Необходимо найти общую стоимость сырья. Для это нужно посчитать затраты первого сырья. Они составляют S1 = 4?90 + 6?50 + 2?140 = 940 единиц, а затраты второго:

S2 = 8?90 + 1?50 + 5?140 = 1470 единиц.

Значит, затраты сырья S могут быть записаны в виде матрицы строки S = (940 1470) и произведения:

.

Общая стоимость двух видов металла составит

Q = 940?40 + 1470?60 = 125800 (денежных единиц).

Рассмотрим ещё одну задачу:

Завоз определённых товаров на склады можно отобразить в следующих матрицах:

– ввоз товаров на первый склад;

– ввоз товаров на второй склад;

Требуется найти сумму завоза всех товаров за год если производится ежемесячный завоз идентичных партий товара.

Найдём суммарный завоз:

.

Далее мы можем найти годовой завоз:

.

Вычислив с помощью матриц годовой завоз товаров на первый и второй склады, мы смогли получить ответ.

Также можно решать экономические задачи путём составления системы линейных уравнений. Рассмотрим на примере: Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Характеристики производства, которые нужны нам для решения данной задачи, представлены в таблице.

Нужно определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Такие задачи используются при прогнозировании расхода сырья на производстве и определении уровня экономического функционирования предприятия.

Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2 и x3. Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно составить соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему любым способом (Методом Гаусса, Крамара, матричным методом и т.д.), мы получим объемы выпуска продукции при заданном количестве сырья:

x1=120; x2=200; x3=245.

Экономические расчёты с использованием матриц очень удобны тем, что в них можно компактно записать множество переменных. К недостаткам можно отнести невозможность прогнозировать изменение этих переменных в будущем. Помимо матриц и матричных уравнений в экономике часто используются и векторы.

Например, можно вычислить производственные показатели предприятия, которые отображены в следующей таблице.

Необходимо определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья A, затраты рабочего времени B и стоимость C выпускаемой продукции предприятия. По приведенным данным составим векторы, которые характеризуют весь производственный цикл:

– вектор ассортимента;

– вектор расхода сырья;

– вектор затрат рабочего времени;

– ценовой вектор.

Тогда величины, которые нам нужно найти, будут равны скалярным произведениям вектора ассортимента на три других вектора:

кг;

ч;

ден. ед.

На примере этих задач можно наглядно увидеть, какой существенный вклад вносит линейная алгебра в изучение экономики. Нельзя переоценить пользу использования методов линейной алгебры в экономических задачах. Конечно, не все экономические процессы и изменения можно описать данным способом, но большинство расчётов существенно упрощается в результате использования матричной и векторной алгебры.

Библиографическая ссылка