Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНОМ КОЛЕБАНИИ СТРУНЫ

Шумченко С.Л. 1
1 «Таганрогский институт имени А.П. Чехова» (филиал) Ростовского государственного экономического университета (РИНХ)
Представлены алгоритмы вычисления экстремумов разностных решений дифференциальных уравнений в частных производных. Вычисления построены по единой схеме на основе сортировки последовательности с взаимно однозначным соответствием входных и выходных индексов. В качестве примера рассматривается задача о свободном колебании струны. Для поиска экстремумов решений дифференциальных уравнений входными являются последовательности разностных значений каждой переменной. На основе оптимизационного алгоритма и компьютерных схем можно идентифицировать все локальные и глобальные экстремумы разностных решений уравнений в частных производных второго порядка на прямоугольной сетке произвольной размерности. Схема может быть перенесена на уравнения более высокого порядка.Метод существенно отличается от известных построением на основе сортировки, возможностью распараллеливания.
Численная оптимизация
дифференциальные уравнения в частных производных
экстремумы разностных решений.
1. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. – М.: Наука, 1977.– 400 с.
2. Заика И.В. Разработка и исследование схем оптимизации на основе алгоритмов сортировки с приложением к идентификации экстремумов решений дифференциальных уравнений,-Таганрог: ТРТУ, 2007, автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук. -19 с.
3. Ромм Я.Е., Заика И.В. Программная локализация экстремумов функций и разностных приближений решений дифференциальных уравнений/ Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. 2005. № M. С. 55.
4. Ромм Я.Е., Заика И.В., Лабинцева А.А. Безусловная численная оптимизация при вариации параметров. I / Депонированная рукопись № 193-В2008 04.03.2008
5. Romm Y.E., Zaika I.V. Numerical sorting-based optimization as applied to general differential and nonlinear equations//Cybernetics and Systems Analysis. 2011. Т. 47. № 2. С. 316-329.

Для идентификации экстремумов разностных решений уравнений в частных производных применяется схема сортировки с взаимно однозначным соответствием входных и выходных индексов сортируемых элементов [2]. К программе сортировки подсоединяется условный оператор, локализующий все минимумы среди элементов входной последовательности. Фиксируется любое меньшее половины минимального расстояния между минимумами. Условие локализации всех минимальных в -окрестности значений дискретизированной функции одной переменной на равномерной сетке с шагом примет вид [2]: . Здесь – элемент массива входных индексов, располагаемого в порядке отсортированных по неубыванию значений функции, образующих одномерный массив. Условие означает, что в -окрестности узла с индексом нет индекса входного элемента, который бы превосходил элемент с индексом . Максимумы локализуются аналогично [5].Без принципиальных затруднений схема переносится на случай вычисления экстремумов функций двух и более переменных [2, 3]. Описанная схема переносится на случай идентификации всех экстремумов разностных решений уравнений в частных производных. Пусть, например, рассматривается задача о свободных колебаниях струны:

, (1)

где краевые и начальные условия заданы соответственно в виде:

, (2)

Пусть задача определена в области , для которой строится равномерная прямоугольная сетка:. Обозначив через значения сеточной функции, приходим к разностной схеме . Пусть , тогда

(3)

где ; Дополнив (3) значениями на нулевом слое и значениями на границе в соответствии с условиями (2), и аппроксимируя производную для подсчета на первом слое, получим явную формулу второго порядка точности для вычисления недостающих значений на первом слое: , Пусть каким-либо способом осуществлен процесс вычислений (3) при фиксированных и (или и ), т.е. получена таблица значений – приближенный каркас решения . Известно [1], что условие (или ) обеспечивает устойчивость схемы и сходимость решения при в условиях (2). Как только сформирована таблица значений , она интерпретируется как дискретная функция двух переменных , которая стандартно поступает на вход метода, и для нее без принципиальных затруднений идентифицируются все искомые нули и экстремумы.

Для нахождения минимумов полученной сеточной функции выполняется проход в направлении оси вдоль -го столбца прямоугольной сетки, во время которого находится минимальное по строкам значение , этот минимум заносится на вход сортировки как -й элемент сортируемого одномерного массива. К выходу процедуры подсоединяется оператор локализации минимума. Оператор идентифицирует каждый узел , в проекции - окрестности которого на нет узлов, доставляющих значения элементов, предшествующие в отсортированном массиве. Значение локализованной абсциссы точки минимума дает привязку к локализуемой точке двумерного минимума, оно фиксируется и аналогичным образом локализуется ордината , в которой идентифицируется минимум значения сеточной функции (3).Более детально схема описывается непосредственно [4,5].

В общем случае, предложенная схема идентифицирует все локальные и глобальные экстремумы разностных решений уравнений в частных производных второго порядка на прямоугольной сетке произвольной размерности. Схема может быть перенесена на уравнения более высокого порядка.


Библиографическая ссылка

Шумченко С.Л. АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНОМ КОЛЕБАНИИ СТРУНЫ // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 2. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14332 (дата обращения: 19.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074