Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ПОСТРОЕНИЕ КУСОЧНО-КВАДРАТИЧНОЙ СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Матрохин С.А. 1 Сергиенко В.В. 1 Агишева Д. К. 1 Матвеева Т. А. 1
1 Волжский политехнический институт (филиал) Волгоградского государственного технического университета
1. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B9%D0%BD
2. Алешин И.Ю., Сычева А.В, Агишева Д.К., Матвеева Т.А. Интерполяция неизвестных функций кубическими сплайнами // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5 (2). – С. 188-189.

Сплайны [1] имеют многочисленные применения, как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях.

В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования.

Сплайны двух аргументов называют би-сплайнами (например, бикубический сплайн), которые являются двумерными сплайнами, моделирующими поверхности. Их часто путают с B-сплайнами (базисными сплайнами), которые являются одномерными и в линейной комбинации составляют кривые – каркас для «натягивания» поверхностей.

Также из базисных сплайнов возможно составить трёхмерную конструкцию для моделирования объёмных тел.

Рассмотрим алгоритм кусочно-квадратичной интерполяции.

Пусть в результате некоторого опыта получены экспериментальные данные, которые можно представить в виде таблицы (табл. 1).

Таблица 1

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

Точки missing image file, missing image file, …, missing image file называются узлами интерполяции. Все точки принадлежат отрезку [a; b], где missing image file, missing image file.

Для удобства будем полагать, что узлы – равноотстоящие с шагом missing image file, тогда

missing image file, missing image file.

Сплайном (англ. spline) называли гибкую металлическую линейку – универсальное лекало, которое использовали чертёжники для соединения точек на чертеже плавной кривой, то есть для графического исполнения интерполяции.

В вычислительной математике сплайном называется функция, которая вместе с производными непрерывна на всём заданном отрезке [a; b], но при этом на каждом частичном отрезке [missing image file; missing image file] в отдельности представляется в виде некоторого алгебраического многочлена.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a,b] производной – дефектом сплайна.

Алгоритм кусочно-квадратичной интерполяции относительно прост и включает в себя два этапа:

1) нужно найти три узла, ближайших к узлу интерполяции;

2) вычислить значение интерполяционного многочлена второй степени.

Первый этап реализуется в зависимости от регулярного или нерегулярного расположения узлов интерполяции.

Не умаляя общности, можно предположить, что узлы интерполяции расположены произвольно. Тогда, поиск ближайших точек можно осуществить в виде цикла, в котором очередной узел интерполяции последовательно сравнивается с правыми границами отрезков интерполяции.

В том случае, когда выполняется условие missing image file, то для интерполяции выбираются (k-1)-й, k-й и (k+1)-й узлы.

Иначе k увеличивается на единицу.

Код программной реализации кусочно-квадратичной интерполяции сплайнами:

missing image file


Библиографическая ссылка

Матрохин С.А., Сергиенко В.В., Агишева Д. К., Матвеева Т. А. ПОСТРОЕНИЕ КУСОЧНО-КВАДРАТИЧНОЙ СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИИ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14161 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074