Экономика как наука о развитии общества и объективных причинах функционирования использует различные количественные характеристики и вследствие этого затрагивает разнообразные математические методы и мoдели. Их широкое использование является важным направлением совершенствования экономического анализа.
Изучение экономических приложений математических дисциплин, кoторые составляют фундамент актуальной экономической математики, позволяет приобрести некие навыки решения экономических задач и углубить знания в данной области.
Обратим внимание на предельные и средние показатели:
При изучении экономических процессов выполняется расчет средних и предельных значений функций, которые выражают зависимости между различными экономическими факторами.
Средняя величина показателя подсчитывается как отношение значения определяющей его функции к соответствующему значению аргумента. Например, пусть функция y = f(x) выражает зависимость издержек производства y от объема выпускаемой продукции x. Тогда функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле:
Ay = y / x.
Для обозначения средних величин к обычному обозначению величин добавляется буква А. Под предельным или маржинальным значением показателя в экономическом анализе понимается производная функции этого показателя (при условии того, что эта функция является непрерывной). Так, в нашем примере предельные издержки производства
Для обозначения предельных величин к обычному обозначению добавляется буква М. Если функция показателя дискретна, то под предельной или же маржинальной величиной понимают отношение изменения функции к вызвавшему это изменение приращению независимой переменной.
Предельные величины характеризуют процесс изменения экономического объекта по времени или относительно некоторого фактора. Они показывают прирост соответствующего показателя в расчете на единицу прироста определяющего его фактора. Так, предельные издержки определяют приближенно дополнительные затраты на производство единицы второстепенной или дополнительной продукции.
Так же могут быть определены и другие предельные показатели, такие как: предельная выручка, предельная себестоимость, предельная производительность, предельный доход, предельный спрос и некоторые другие.
Исследуем применение эластичности функции:
Эластичностью непрерывной функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
Эластичность может быть выражена в виде отношения предельной и средней величин:
Эластичность функции – это величина без размера, значение которой не зависит от измерения величины x и y. Она показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на 1%.
Свойства эластичности можно трактовать следующим образом.
1. Эластичность частного или произведения двух функций равна разности или сумме эластичностей этих функций:
Ex(uv)
, 
2. Эластичности взаимно обратных функций – это взаимно обратные величины:
3. Если с – постоянная величина, то 
;
Ex(cu) 
Рассмотрим функцию спроса: зависимость количества покупаемого товара q от его цены p: q=q(p). Эластичность спроса по цене можно записать в виде формулы следующим образом:
Если 
>1, спрoс называют эластичным. Небольшое изменение цены товара вызывает значительное изменение величины спроса на него.
Если 0<
<1, спрос называют нeэластичным. Изменение цены ведет к сравнительно небольшому изменению величины спроса.
Если 
=1, спрос называют нейтральным.
Исследуем динамику выручки при различных видах спроса. Выручка от продажи товара по цене p составляет 
Предельная выручка
Заметим, что, поскольку функция спроса является убывающей, ее производная 
<0. Поэтому и 
<0.
Следовательно:
- eсли спрос эластичен, то с увеличением цены выручка от продажи уменьшается. Можно сделать вывод: для повышения выручки продавцам выгодно понижать цену;
- при нейтральном спросе выручка практически не зависит от цены;
- при неэластичном спросе повышение цены приводит к увеличению выручки.
Рассмотрим конкретную задачу на применение производной в экономической теории:
Объём продукции z цеха в течение рабочего дня представляет функцию z = – t3 – 3t2 + 85t + 325, где t – время, выраженное в часах (ч). Нужно найти производительность труда через 2 часа после начала работы.
Решение: За период времени от t0 = 2 до 
количество произведенной продукции изменится от 
до значения 
= 
, средняя производительность труда в этот временной период составит Δz / Δt. Следовательно, производительность труда (обозначим ее ПТ) в момент t0 можно определить, в качестве предельного значения средней производительности труда за период времени от t0 до 
при 
, то есть ПТ (производительность труда) можно выразить следующим образом:
ПТ
Теперь найдем производную от уже известной нам функции z и подставим туда значение t0=2. Получим следующее уравнение:
z′(t) = – 3t2 – 6t + 85 => z(t0) = – 3∙22 – 6∙2 + 85 = 61
В итоге можно сделать вывод, что производительность труда после начала работы, которая длилась 2 часа, составит 61 единицу продукции в час.
В заключение можно сказать, что математика очень тесно связана с другими науками, особенно с экoномикой. Матeматические модели играют важную роль в экономических исследованиях. Также применение производной часто используется в экономических задачах и теориях. Благодаря использованию производной или дифференциального исчисления решаются многие экономические задачи, такие как, например, задачи об эластичности спроса, или как представлено выше: задачи о нахождении производительности труда.
Безусловно, без современной математики был бы не возможен прoгресс в различных областях человеческой деятельности. Поэтому математика как наука контактирует с большим количеством наук, а с некоторыми интегрируется более тесно. Эта взаимосвязь помогает человечеству в решении многих вопросов, которые касаются вопросов о внедрении или интеграции с другими науками.
Библиографическая ссылка
Шуваев А.В., Гочияев М.Х. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14146 (дата обращения: 21.11.2024).