Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

«ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ» КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ

Хаджидурдыева А.М. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б., Мелешко С.В. Теория вероятностей и математическая статистика // Международный журнал экспериментального образования. – 2012. – № 11. – С. 51-52.
2. Мамаев И.И., Бондаренко В.А., Шибаев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика в аграрном вузе: сборник научных трудов «Финансово-экономические проблемы развития региона и учетно-аналитические аспекты функционирования предпринимательских структур» по материалам Ежегодной 77-ой научно-практической конференции ФГБОУ ВПО «Ставропольский государственный аграрный университет» «Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу». – 2013. – С. 478-482.
3. Манастырная Е.С., Невидомская И.А. Теория вероятностей как теоретическая основа математической статистики // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 165-166.
4. Мелешко С.В., Невидомская И.А., Донец З.Г. Организация самостоятельной работы студентов при решении задач теории вероятностей: сборник научных трудов «Финансово-экономические проблемы развития региона и учетно-аналитические аспекты функционирования предпринимательских структур» по материалам Ежегодной 77-ой научно-практической конференции ФГБОУ ВПО «Ставропольский государственный аграрный университет» «Аграрная наука – Северо-Кавказскому федеральному округу». – 2013. – С. 486-489.
5. Невидомская И.А. Информационные технологии в преподавании математики в аграрном вузе // Известия Южного федерального университета. Педагогические науки. – 2011. – № 6. – С. 154-160.

Возникновение теории вероятностей как науки относится к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр, таких как кости и рулетка.

Как показывает практика нельзя заранее предугадать, какое из допустимых значений примет случайная величина. Необходимо отметить, что о любой случайной величине мы располагаем определенными знаниями, но бывает очень тяжело найти закономерности в ее поведении.

Анализ соответствующей литературы показал, что при отдельных условиях суммарное поведение достаточно значительного числа случайных величин почти целиком теряет случайный характер и при этом делается закономерным.

На практике при изучении закономерностей массовых случайных явлений, зависящих от большого числа случайных факторов, мы используем так называемые предельные теоремы. К ним относятся теоремы Чебышева, Пуассона, Бернулли и т. д.

Предельны теоремы делятся на две группы. К первой группе относятся теоремы, объединенные под общим названием «закон больших чисел». В них ставятся условия, при которых среднее арифметическое случайных величин приближается к некоторым детерминированным (неслучайным) величинам.

Важный вклад в теорию «больших чисел» внёс Якоб Бернулли. Заслуга его заключается в том, что он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы, что позволило начать их применять к анализу ошибок наблюдений.

Необходимо отметить, что, заложенные Якобом Бернулли основы применения теории вероятностей в различных сферах жизни общества, в том числе и экономике, имели огромное значение. В его труде «Искусство предположений» ученый доказывает теорему о больших числах, выводит понятие доверительного интервала. Существует два вопроса, связанных с теорией вероятностей. Первый вопрос заключается в следующем: как будут соотноситься результаты, полученные на практике, с теоретическими? Второй вопрос состоит в решении обратной задачи: можно ли определить теоретическую вероятность по результатам испытаний?

Якоб Бернулли посвятил несколько десятилетий изучению этой задачи и математически доказал, что при бросании игрального кубика большое число раз доля случаев, когда выпадет четыре очка, будет приближаться к 1/6. Математик назвал свое открытие золотой теоремой, однако в современной формулировке она известная как закон больших чисел.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события постоянна, то с вероятностью, стремящейся к единице, можно утверждать, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота W появления события сходится по вероятности к его вероятности P:

missing image file.

Теорема Бернулли состоит из двух частей, первая из которых говорит о том, что заданной точности можно достичь при конечном числе экспериментов. Вторая часть теоремы позволяет рассчитать количество экспериментов, которое потребуется для достижения желаемой точности.

Например, при проведении выборов в краевую государственную думу можно установить допустимое значение ошибки и определить число бюллетеней, которые должны будут заполнить избиратели, чтобы получить результат с заданной точностью.

Одним из наиболее общих законов больших чисел является терема Чебышева, которая справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин. Опыт показывает, что данная теорема подтверждает связь между случайностью и необходимостью.

Например. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время T равна 0,05. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время T окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение. а). Обозначим через дискретную случайную величину X число отказавших элементов за время T. Тогда

missing image file

Воспользуемся неравенством Чебышева:

missing image file.

Подставим missing image file, получим

missing image file.

б). События missing image file и missing image file противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Значит, missing image file.

Таким образом, уверенно сказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, нельзя. Однако, можно с определенной уверенностью предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое. Данная характеристика достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины. Это связанно с тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными. Однако, в среднем арифметическом отклонении они взаимно погашаются.


Библиографическая ссылка

Хаджидурдыева А.М. «ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ» КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14140 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074