Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ СИМПЛЕКС-МЕТОДА НА ПРИМЕРЕ ХЛЕБОПЕКАРНОГО МАГАЗИНА «ШОКОЛАДНИЦА»

Кирнозова И.Р. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Перспективы применения математических методов в экономических исследованиях // Аграрная наука, творчество, рост. – Ставрополь, 2013. – С. 252-254.
2. Исследование операций: учебное пособие / Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 11-1. – С. 118-119.
3. Математические методы в экономике [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Математические методы в экономике
4. Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Попова С.В., Крон Р.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В., Тынянко Н.Н. Комплект рабочих тетрадей по курсу высшей математики для экономических специальностей // Международный журнал экспериментального образования. – 2009. – № S4. – С. 22.
5. Попова С.В., Смирнова Н.Б. О прикладной направленности математики в высшей школе // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: сб. научных статей по материалам Международной научно-практической конференции. – Ставрополь: АГРУС Ставропольского ГАУ, 2013. – С. 260-264.
6. Смирнова Н.Б., Попова С.В. Проблемы создания математических моделей эколого-экономических систем в процессе взаимодействия человека и окружающей среды // Культура и общество: история и современность материалы III Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции. Филиал РГСУ в г. Ставрополь; под редакцией О.Ю. Колосовой, Т.В. Вергун, Р.Ф. Гударенко. – Ставрополь, 2014. – С. 185-190.
7. Мамаев И.И., Бондаренко В.А. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры // Аграрная наука, творчество, рост: сборник научных статей по материалам научно-практической конференции. – Ставрополь: Изд-во «АГРУС», 2013. – С. 266-268.
8. Смирнова Н.Б., Демьянчук У.В. Применение математики в экономике // Культура и общество: история и современность: материалы II Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции / под редакцией: Колосовой О.Ю., Гударенко Р.Ф., Ряснянской Н.А., Красиковой Е.А. – Ставрополь, 2013. – С. 144-147.
9. Линейная алгебра: учебное пособие / Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 11-1. – С. 115.
10. Смирнова Н.Б., Попова С.В. Системный подход к образованию, его проблемы и перспективы развития // Культура и общество: история и современность: сб. материалов II Всероссийской (с международным участием) науч.-практ. конф. / под ред. Колосовой О.Ю., Гударенко Р.Ф., Ряснянской Н.А., Красиковой Е.А. – Ставрополь, 2013. – С. 41-47.

Математическая модель – это близкое к существующему описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики.

Цель моделирования: исследовать объекты и предугадывать результаты наблюдений.

Математическое моделирование незаменимо в тех случаях, когда эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Невозможно проверить правильность той или иной теории.

Основные этапы математического моделирования:

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект – некая конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель.

2) Решение математической задачи. Разработка алгоритмов и численных методов решения задачи.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Полученные сведения преобразовать для понятного объяснения.

4) Проверка адекватности модели. Согласование результатов эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Математическое моделирование бывает:

- Аналитическое – процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических и т.д.) или логических условий.

- Имитационное – моделирование, при котором реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются все явления, входящие в процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности. Основным преимуществом имитационного моделирования перед аналитическим является возможность решения более сложных задач.

- Комбинированное – объединяет в себе предыдущие два вида моделирования: аналитическое и имитационное. Это позволяет получить более точные показатели для задачи

Симплекс метод – это универсальный метод для решения линейной системы уравнений или неравенств и линейного функционала, так как позволяет решить задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде. Если система ограничений задана в стандартной форме, то ее переводят в каноническую форму путем добавления новых переменных.

Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения задачи линейного программирования заключается в следующих моментах:

- умение находить начальный опорный план;

- наличие признака оптимальности опорного плана;

- умение переходить к нехудшему опорному плану.

На примере хлебопекарного магазина «Шоколадница» рассмотрим задачу:

В «Шоколаднице» изготавливают два вида тортов «Зимняя вишня». Нормы затрат продуктов на один торт и запасы хлебопекарного магазина выглядят следующим образом:

Название

продуктов

Запасы на один торт (у.д.е.)

Запасы

I

II

Мука

2

3

18

Вишня

8

7

56

Темный шоколад

0

3

15

Белый шоколад

3

0

18

Маргарин

1

2

6

Сахарный песок

6

3

18

Необходимо составить план выпечки тортов для максимизации прибыли, если первый вид торта стоит 10 у.д.е., а второй – 12 у.д.е., причем в ассортименте должны быть оба вида тортов.

Для решения поставленной задачи применим наиболее доступный и простой метод линейного программирования. Составим экономико-математическую модель задачи, состоящую из системы ограничений, условия не отрицательности и целевой функции с видом оптимизации. Введём обозначения: примем, что будет выпускаться х1 штук первого вида торта, а второго вида торта х2 штук.

Так как в ассортименте должны быть оба вида тортов, то количество выпускаемой продукции должно быть положительным.

Математическая модель данной задачи примет вид:

missing image filemissing image file Z = 10 х1 + 12 х2 → max

Запишем систему ограничений в каноническом виде, для этого введем дополнительные переменные: х3 х4 х5 х6 х7 х8 соответственно для каждого уравнения системы, и подготовим эту систему и целевую функцию для решения симплекс-методом.

missing image file missing image file

Z = 10 х1 + 12 х2 → max Z = 0 – (–10 х1 – 12 х2) → max

Далее идёт процесс работы с симплекс-таблицами.

Симплекс-таблица №1.

Б/Св

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

18

2

3

missing image file

56

8

7

missing image file

15

0

3

missing image file

18

3

0

missing image file

6

1

2

missing image file

18

6

3

missing image file

0

-10

-12

Находим разрешающие столбец и строку с учётом того, что min = 18/3, разрешающий элемент и выполняем пересчёт элементов таблицы. Приходим к следующим таблицам.

Симплекс-таблица №2

Б/Св

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

9

1/2

-3/2

missing image file

35

9/2

-7/2

missing image file

6

-3/2

-3/2

missing image file

18

3

0

missing image file

3

1/2

1/2

missing image file

9

9/2

-3/2

missing image file

36

-4

6

Симплекс-таблица №3

Б/Св

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

8

-1/3

missing image file

26

-1

missing image file

9

1/3

missing image file

12

-2/3

missing image file

2

-8/9

missing image file

2

2/9

1/3

missing image file

4

8/9

По таблице видим, чтобы максимизировать прибыль от реализации торта «Зимняя вишня» первого вида нужно произвести 2 торта, а второго вида также 2 торта.

Вывод: с помощью симплекс-метода мы смоделировали ситуацию и узнали все необходимые показатели при данных условиях.

Нормативы потребления компонент торта обычно не меняются, а вот если изменится количество запасов продуктов, необходимо будет поставленную задачу пересчитывать заново.

Математическое моделирование с применением симплекс метода позволяет предугадать расходы/доходы, будущие траты фирмы или ее потери. При правильном расчете с учетом всех внутренних и внешних факторов мы можем предугадать ситуацию на предприятии.


Библиографическая ссылка

Кирнозова И.Р. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ СИМПЛЕКС-МЕТОДА НА ПРИМЕРЕ ХЛЕБОПЕКАРНОГО МАГАЗИНА «ШОКОЛАДНИЦА» // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14129 (дата обращения: 02.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074