Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Макушева М.Н. 1 Апайчева Л.А. 1
1 Нижнекамский химико-технологический институт
1. Краснов М.Л., Киселев А.Н., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1971. – 256 с.
2. Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Основы теории автоматического управления – Тамбов: ТГТУ, 2004. – 352 с.
3. Сборник задач по математике для вузов. Специальные разделы математического анализа. – М.: Наука, 1981. – 368 с.

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике. Обобщением обычного преобразования Лапласа на дискретные функции является дискретное преобразование Лапласа (Z – преобразование), которое является основным математическим аппаратом при анализе линейных импульсных систем.

Известно, что динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях.

Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами удобно проводить методом Z – преобразования, аналогично схеме применения преобразования Лапласа к решению задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В результате применения этого метода к линейному разностному уравнению (или системе уравнений) с постоянными коэффициентами получаем уравнение (или систему уравнений) относительно изображения искомой ступенчатой функции, содержащее все начальные условия.

Пусть имеем комплекснозначную функцию f(t) действительного аргумента t, определенную для t≥0. Рассмотрим последовательность {f(n)} (n=0,1,2,…), которая обозначается f(n) и называется решетчатой функцией. Для отрицательных значений аргумента решетчатая функция равна нулю.

Решетчатая функция – это результат временного квантовая непрерывного сигнала, которая представляет значения непрерывного сигнала в дискретные моменты времени.

Дискретным преобразованием Лапласа (Z-преобразованием) решетчатой функции f(n) называется функция F*(p) комплексного аргумента p=S+iσ, определяемая равенством:

missing image file (1)

Предполагается, что ряд справа в (1) сходится. Функция f(n) называется дискретным оригиналом, а F*(p) – ее изображением и обозначается символом: F*(p)÷f(n) или f(n)÷F*(P).

Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение:

missing image file (2)

Решение задачи (2) будем искать операционным методом, основанном на дискретном преобразовании Лапласа. Применим Z-преобразование к обеим частям уравнения (2).

Пусть f(n)÷F*(p). Применяя теорему опережения, имеем:f(n+1)÷еᵖF*(p).

С учетом соотношения:

missing image file

приходим к операторному уравнению:

missing image file

Отсюда находим изображение решения:

missing image file (3)

В случае, когда F*(p) есть правильная рациональная дробь относительно еᵖ, решетчатую функцию f(n) будем искать в виде:

missing image file (4)

где сумма вычетов берется по всем полюсам функции F*(p), расположенным в полосе -π<Imp≤π и на ее границе Imp=π.

Функция F*(p) имеет один простой полюс: missing image fileи один полюс missing image file = 0 порядка 2 основной полосы -π<Imp≤π.

Находим вычеты функции F*(p)missing image file относительно полюсов missing image file и missing image file.

Так как missing image file=ln2+πi – простой полюс, то (5):

missing image file

missing image file missing image file

Поскольку missing image file=0 – полюс порядка 2, то последовательно находим:

missing image file

missing image file missing image file

missing image file (6)

Таким образом, согласно формулам (4)-(6) искомая решетчатая функция принимает вид:

missing image file

Далее рассмотрим следующую систему линейных разностных уравнений:

missing image file (7)

с начальными условиями:

missing image file (8)

Применим Z-преобразование к системе (7)-(8). Пусть

missing image file (8)

Согласно теореме опережения и условий (8) имеем:

missing image file, missing image file.

Систему (7) - (8) запишем в операторном виде:

missing image file (9)

Будем решать систему (9) по правилу Крамера:

missing image file

missing image file

missing image file

Отсюда находим решение системы (9)

missing image file (10)

missing image file (11)

Теперь по изображениям X*(p) и Y*(p) будем восстанавливать решетчатые функции x(n) и y(n). Разлагаем дробь (10) на простейшие дроби. Имеем:

missing image file (12)

С учетом соотношений:

missing image file

находим:

missing image file

Решетчатую функцию y(n) будем искать с помощью формулы (9). Находим вычеты функции missing image file относительно полюсов missing image file функции Y*(p). Так как полюсы missing image file – простые, поэтому вычеты относительно этих полюсов принимают соответственно вид:

missing image file

missing image file (13)

missing image file

missing image file (14)

missing image file

missing image file (15)

Объединяя формулы (9)-(11), получаем решетчатую функцию

missing image file


Библиографическая ссылка

Макушева М.Н., Апайчева Л.А. ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14108 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074