Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

АНАЛИЗ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Гилазетдинов А.Р. 1 Зотеев В.А. 1 Хафизов Р.М. 1 Шувалова Л.Е. 1
1 Нижнекамский химико-технологический институт
1. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений: учеб. пособие. под ред. Ю.С. Богданова: Издательство «Высшая Школа», Минск, 1973.
2. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO. М.: СК Пресс, 1998. 352 с., ил.

1. Введение

Исследование электрических цепей, находящихся в магнитной связи, приводит к решению обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков. Эти уравнения встречаются в задачах электродинамики и в ряде других разделов физики (см. напр., [1]). Теория этих уравнений в настоящее время хорошо разработана.

Ниже рассматриваются два связанных электрических контура, исследование которых приводит к решению дифференциального уравнения четвертого порядка.

2. Постановка задачи и описание алгоритма

Рассматриваются две цепи A и B, находящиеся в магнитной связи при заданном коэффициенте М = 2 взаимной индукции (см. рис. 1).

Дано: коэффициент самоиндукции L1 = 2 млГн, сопротивление R1 = 150 Ом и емкость цепи «А» C1 = 15 мкФ; L2 = 3 млГн, R2 = 200 Ом и C2 = 10 мкФ – аналогичные величины для цепи «В».

Найти закон изменения силы тока i в цепи A, предполагая, что сопротивления цепей R1 и R2 весьма малы; цепи настроены в унисон, т.е. C1L1=C2L2.

Galazetdinova.tif

Рис. 1

При составлении уравнений для токов в электрических цепях используется второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил (ЭДС), входящих в этот контур.

В цепи A возникают силы: ЭДС индукции missing image file , ЭДС самоиндукции missing image file , напряжение конденсатора missing image file.

Отсюда по закону равновесия электродвижущих сил имеем

missing image file (1)

Аналогично для цепи B получаем

missing image file (2)

Из уравнений (1) и (2) составляем систему дифференциальных уравнений процесса

missing image file

После дифференцирования имеем

missing image file (3)

Эта система двух дифференциальных уравнений второго порядка. Исключим из системы (3) величину missing image file.

Тогда получим выражение

missing image file (4)

Дифференцируя уравнение (4), находим

missing image file (5)

В уравнении (5) заменяем величину missing image file выражением из первого уравнения системы (3)

missing image file

и получаем соотношение

Дифференцируя уравнение (6), находим

Вторично заменяя величину missing image file выражением из первого уравнения системы (3), получим

missing image file.

Сокращаем уравнение (7) на missing image file:

missing image file

Так как цепи настроены в унисон, т. е. missing image file, и сопротивлениями R1 и R2 можно пренебречь, то уравнение (8) принимает вид

missing image file

3. Численная реализация

Различают точные и приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что большое количество уравнений может быть решено аналитическим способом, часто требуется найти числовое значение при определенных исходных данных. Поэтому широкое распространение получили численные методы, которые реализуются функциями «MathCAD». Для решения однородного дифференциального уравнения четвертого порядка применим такие функции, как Given и Odesolve. Как известно, функция Odesolve возвращает решение дифференциальных уравнений, описанных в блоке Given при заданных начальных условиях.

Ниже приводятся программы, реализующие решение поставленной задачи (8), (9).

В первой программе активные сопротивления ничтожно малы, поэтому ими можно пренебречь (9):

Given

missing image file missing image file missing image file missing image file

missing image file

missing image file missing image file missing image file missing image file

Gelazetdinov1.eps

missing image file

missing image file missing image file

missing image file

i(t)=

0.505

2.585

7.902

17.561

31.785

Для сравнения, рассмотрим случай, когда учитываются активные сопротивления (8):

Given

missing image file missing image file

missing image file missing image file

missing image file missing image file missing image file missing image file

Gelazetdinov.eps

missing image file

missing image file missing image file

i(t) =

0.505

1.546

2.587

3.628

4.667

Если сравнивать полученные результаты из двух программ, можно сделать следующий вывод: в первом случае, когда активные сопротивления пренебрежительно малы, величина тока значительна и наблюдается экспоненциальный рост. Во втором случае, когда ток зависит от сопротивления, просматривается линейное возрастание .

С помощью проведенных вычислений нашли зависимость тока от сопротивления в цепи: чем больше сопротивление в цепи, тем меньше ток.


Библиографическая ссылка

Гилазетдинов А.Р., Зотеев В.А., Хафизов Р.М., Шувалова Л.Е. АНАЛИЗ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 5-5. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14057 (дата обращения: 10.12.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.685