Исследование последовательностей авторами ([1], [2], [3]) показывает, что прогрессирующие последовательности, состоящие из членов арифметических и геометрических прогрессий, обладают тем свойством, что квадратные матрицы любого порядка (начиная с третьего), составленные из их членов, дают определитель равный 0. Анализ доступных литературных источников не выявил даже упоминания о таком замечательном факте.
Числа Фибоначчи представляют собой последовательность, каждый член которой, начиная с третьего, получается как сумма предыдущих двух. Если для прогрессирующих последовательностей любой член можно получить по его номеру, первому члену и разности (знаменателю), то числа Фибоначчи приходится получать последовательно по известному рекуррентному соотношению (хотя существуют приближённые формулы получения n-го члена – например, формула Бине) [4].
Рассмотрим, как соотносятся между собой соседние числа в четвёртой строке (рис. 2). Очевидно, что отношения между ними «почти» равны. Полученное наводит на мысль, почему определитель матрицы получается равным 0.
Интересно, что значения отношений соседних чисел Фибоначчи (рис. 2) «почти» совпадает со значением золотого числа 
[5].
Но пойдём дальше. Посмотрим, как соотносятся соответствующие элементы матрицы построчно, т.е. чему равны отношения соответствующих элементов в двух строках – четвёртой и третьей (рис. 3). Учитывая, что указанные отношения «почти» равны, становится ясно, почему определитель рассматриваемой матрицы равен 0.
Получив на рис. 2 интересный результат – отношение двух соседних чисел Фибоначчи примерно равно золотому числу φ, перейдём к рассмотрению последовательности, составленной из значений золотого сечения [5] для начального значения t = 7 (рис. 4).
В таблице y принимает последовательные значения, содержащие пропорции достаточно близкие к золотому сечению. Получены эти значения с помощью приведённого на рисунке (рис. 4) цикла. При этом вычисление следующего элемента последовательности весьма похоже на вычисление соответствующего элемента последовательности чисел Фибоначчи. Приведённое в начале программы значение φ затем получается как отношение соседних последовательных значений последовательности (приводится в качестве контроля). Составленная матрица С имеет определитель равный 0, как это наблюдалось и для последовательности чисел Фибоначчи. Этот результат на первый взгляд удивителен, но последняя строка (рис. 4) вычислений (отношения соответствующих элементов матрицы в двух строках) наглядно показывает пропорциональность между строками (одно из основных свойств определителя). То же самое наблюдается и для матрицы, состоящей из элементов последовательности чисел Фибоначчи (рис. 3).
Рис. 1. Последовательность 16 первых чисел Фибоначчи, записанных в матрицу
Рис. 2. Пропорции между соседними числами Фибоначчи по строке матрицы
Рис. 3. Пропорции между соответствующими числами Фибоначчи в двух соседних строках матрицы
Рис. 4. Матрица, составленная из последовательных значений золотого сечения
Приведённый выше материал был размещён в информационной образовательной среде кафедры общенаучных дисциплин АМТИ как результат студенческой научной работы. Вызвал большой интерес, много вопросов и предложений к авторам. Работа с этим документом сокурсников, студентов других направлений и курсов способствует развитию их научного творчества, самостоятельности в учебной и научной работе.
Библиографическая ссылка
Смольняков И.М., Часов К.В. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 5-4. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=13969 (дата обращения: 21.11.2024).