Модель со случайным эффектом относится к моделям для панельных данных (ПД). Под панельными данными, в современных эконометрических методах изучения социально-экономических процессов, понимается множество данных, состоящих из наблюдений за однотипными экономическими объектами в течение нескольких временных периодов. Отличительной особенностью панельных данных является то, что они включают как пространственные данные, так и данные временных рядов, и поэтому содержат не только информацию о развитии объектов во времени, но и служат базой для выявления различий между исследуемыми объектами [1], [2]. Основным преимуществом панельных данных является значительное увеличение выборочных данных по сравнению с данными временных рядов и пространственными данными для одного объекта, это обеспечивает большую эффективность оценкам параметров эконометрической модели.
В данной работе рассматриваются методы оценки параметров моделей для панельных данных на примере построения эконометрической модели зависимости величины инвестиций фирмы от её прибыли в рамках модели со случайным эффектом.
Основными регрессионными моделями, применяемыми к панельным данным, являются [3]:
объединённая модель (pooled model), предполагающая, что у экономических единиц нет индивидуальных различий
yit = μi + xit ∙ β + εit , , (1)
модель с фиксированным эффектом (fixed effect model,FE), базирующаяся на «уникальности» экономических единиц (индивидуальные различия между экономическими объектами учитываются в параметрах)
yit = μi + xit ∙ β + εit , , (2)
модель со случайным эффектом (random effect model,RE), учитывающая «случайность» попадания объекта в панель в результате выборки из большой совокупности (индивидуальные различия между экономическими объектами учитываются в случайных возмущениях)
yit = μi + xit ∙ β + εit , , , (3)
yit = μi + xit ∙ β + νit , νit = mi + εit .
Спецификации записаны для i-ой панели в момент времени t,
(). Обозначения в моделях (1)-(3) следующие: yit – зависимая переменная, xit – вектор-строка регрессоров (размерностью k), εit – случайное возмущение: E{εit} = 0, Var{εit} = σε2, μ – параметр местоположения – общий для всех экономических объектов во все моменты времени, μi – параметр местоположения – индивидуальный для каждого экономического объекта, β – вектор параметров влияния, mi – независящая от времени специфическая составляющая ошибки: , ,
Cov{mi , εit} = 0, для ,
Cov{εit , xis} = 0, для ,
Cov{mi , xjt} = 0, для ,
E{νit} = E{mi} + E{εit} = 0 ,
. (4)
Автоковариационная матрица вектора случайных возмущений не диагональная, в силу (4). Вектор случайных возмущений v – гетероскедастичный, поэтому для оценки параметров модели (3) следует использовать обобщённый метод наименьших квадратов (ОМНК), в частности, выполнимый ОМНК (ВОМНК), так как значения дисперсий и при решении практических задач, как правило, неизвестны, и необходима их оценка по имеющейся эмпирической информации.
Оценка дисперсии может быть получена в рамках внутригруппового оценивания (within group) по переменным , – это центрированные переменные по выборочным средним по времени (,) для каждой панели:
. (5)
Дисперсия специфической составляющей связана с – дисперсией межгруппового оценивания (between estimator)1 по переменным , , представляющим собой отклонения средних по каждой панели от общих средних (,). Оценка выполняется по формуле:
. (6)
Выражение для автоковариационной матрицы возмущений имеет вид [4]:
. (7)
Матрицы P и M, входящие в формулу (7), идемпотентны, поэтому справедливо следующее соотношение
,
в частности, это используется для вычисления обратной матрицы и для случая :
,
, (8)
где
(9)
– параметр корректировки.
ОМНК-оценки параметров модели со случайными эффектами
, (10)
где – параметры местоположения и влияния (постоянные для всех объектов наблюдения во все моменты времени), вычисляются через оценку матрицы :
. (11)
При реализации алгоритма ОМНК в Excel удобно вычислять оценки параметров обычным МНК, но исходную спецификацию (10) подвергнуть преобразованию, с учётом (8):
, (12)
где
, (13)
. (14)
Легко показать, что МНК-оценка параметров модели (12) по преобразованным данным (13), (14), совпадает с ВОМНК-оценкой (11):
.
При практической реализации данного алгоритма параметр корректировки заменяется его оценкой, которая вычисляется через оценки дисперсий (5) и (6).
Оценим в Excel эконометрическую модель зависимости объёмов инвестиций от прибыли предприятия, используя данные по трём предприятиям (число панелей ) за 10 лет (объём выборки по каждому предприятию T = 10) в рамках модели со случайными эффектами. Данные приводятся в таблице 1 [5].
Таблица 1
Объём инвестиций (Y) и прибыль (X)
Время t |
предприятие 1 |
предприятие 2 |
предприятие 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
13,32 |
12,85 |
20,3 |
22,93 |
8,85 |
8,65 |
2 |
26,3 |
25,69 |
17,47 |
17,96 |
19,6 |
16,55 |
3 |
2,62 |
5,48 |
9,31 |
9,16 |
3,87 |
1,47 |
4 |
14,94 |
13,79 |
18,01 |
18,73 |
24,19 |
24,91 |
5 |
15,8 |
15,41 |
7,63 |
11,31 |
3,99 |
5,01 |
6 |
12,2 |
12,59 |
19,84 |
21,15 |
5,73 |
8,34 |
7 |
14,93 |
16,64 |
13,76 |
16,13 |
26,68 |
22,7 |
8 |
29,82 |
26,45 |
10 |
11,61 |
11,49 |
8,36 |
9 |
20,32 |
19,64 |
19,51 |
19,55 |
18,49 |
15,44 |
10 |
4,77 |
5,43 |
18,32 |
17,06 |
20,84 |
17,87 |
Алгоритм процедуры представим в виде последовательности следующих шагов.
Шаг 1. Оценка межгрупповой регрессии.
1. Вычисление средних по времени для каждой панели (каждого предприятия) (при помощи функции СРЗНАЧ, категория «Статистические»)
Таблица 2
Значения индивидуальных средних по выборке
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
15,502 |
15,397 |
0,405 |
0,435 |
2 |
15,415 |
16,pic559 |
0,318 |
1,597 |
3 |
14,373 |
12,93 |
-0,724 |
-2,032 |
общие средние |
15,09667 |
14,962 |
2. По данным столбцов 4 и 5 таблицы 2, используя функцию ЛИНЕЙН (категория «Статистические»), выполняется оценка межгрупповой регрессии:
Таблица 3
Выходная информация функции ЛИНЕЙН
0,313771 |
0 |
0,090731 |
#Н/Д |
0,856728 |
0,23779 |
11,9595 |
2 |
0,676237 |
0,113088 |
Откуда следует, что .
Шаг 2. Оценка внутригрупповой регрессии.
1. Центрирование ПД по индивидуальным средним. Можно выполнить путём формирования таблицы 4.
Таблица 4
Формирование центрированных данных y*it , x*it
номер наблюдения |
yit |
xit |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
13,32 |
12,85 |
15,502 |
15,397 |
-2,182 |
-2,547 |
2 |
26,3 |
25,69 |
15,502 |
15,397 |
10,798 |
10,293 |
|
|
|
|
|
|
|
29 |
18,49 |
15,44 |
14,373 |
12,93 |
4,117 |
2,51 |
30 |
20,84 |
17,87 |
14,373 |
12,93 |
6,467 |
4,94 |
2. Оценка внутригрупповой регрессии по данным 6 и 7 столбцов таблицы 4. (Функция ЛИНЕЙН, категория «Статистические»).
Таблица 5
Выходная информация функции ЛИНЕЙН
1,102192 |
0 |
0,048024 |
#Н/Д |
0,947818 |
1,652407 |
526,7496 |
29 |
1438,263 |
79,18302 |
Откуда следует, что .
Шаг 3. Вычисление коэффициента корректировки (по формуле (9)):
.
Шаг 4. Корректировка выборочных данных (по формулам (13) и (14).
Таблица 6
Корректировка данных: y*it , x*it
номер наблюдения |
yit |
xit |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
13,32 |
12,85 |
15,502 |
15,397 |
31,883 |
31,288 |
2 |
26,3 |
25,69 |
15,502 |
15,397 |
44,863 |
44,128 |
|
|
|
|
|
|
|
29 |
18,49 |
15,44 |
14,373 |
12,93 |
35,701 |
30,923 |
30 |
20,84 |
17,87 |
14,373 |
12,93 |
38,051 |
33,353 |
Шаг 5. Оценка модели со случайным эффектом по данным 6 и 7 столбцов таблицы 6. (Функция ЛИНЕЙН, категория «Статистические»).
Таблица 7
Выходная информация функции ЛИНЕЙН
1,005458 |
0 |
0,016089 |
#Н/Д |
0,992629 |
2,964243 |
3905,578 |
29 |
34317,29 |
254,8154 |
МНК-Оценки параметров по данным, преобразованным по правилу
, ,
совпадают с МНК-оценками по данным, преобразованным по формулам (13) и (14), а оценку ско возмущения, приведённую в таблице 7 в третьей строке правого столбца, нужно скорректировать:
.
Таким образом, оцененная по данным таблицы 1 модель со случайным эффектом имеет вид
, , .
Как показывают результаты оценивания, оценки параметров всех трёх моделей (1)-(3), отличаются незначительно. Тестирование характера данных говорят в пользу модели (1) [5].
Библиографическая ссылка
Бабешко Л.О., Дуваа В.А. АЛГОРИТМ ПРОЦЕДУРЫ ОЦЕНКИ МОДЕЛИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ЭФФЕКТАМИ В Excel // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 4-1. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=12604 (дата обращения: 15.10.2024).