Разложение рядов метеорологических величин на естественные ортогональные составляющие (ЕОС) можно рассматривать как одни из методов их модельного представления. Так, например, в работе [1] такой подход использовался для объективной классификации климатов и климатического районирования территории. Корреляционные матрицы вертикальных профилей метеорологических величин и рассчитанные на их основе ЕОС используются для реализации проекционного метода и метода статистической регуляризации при решении обратных задач атмосферной оптики [2].
В данной работе исследуются возможности малопараметрического представления вертикальных профилей температуры с использование ЕОС их ковариационной матрицы, построенной по ансамблю таких профилей. Задача решается на примере вертикальных профилей температуры, полученных по данным аэрологического зондирования атмосферы в Якутии (станция Жиганск) за 2018 г.
В работе рассматривается методика подготовки данных для последующего разложения вертикальных профилей температуры воздуха по собственным векторам ковариационной матрицы [3].
Параметризация вектора r сводится к решению следующих задач:
- формирование ансамбля векторов r, статистические свойства которого были бы «близки» к тем векторам, для которых необходимо произвести параметризацию;
- расчет ковариационной матрицы для этого ансамбля;
- расчет собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы;
- формирование матрицы М, состоящей из m первых собственных векторов ковариационной матрицы ансамбля векторов r;
- для каждого подлежащего параметризации профиля r найти соответствующий ему вектор k.
В исходных данных аэрологического зондирования в качестве вертикальной сетки могут использоваться как высоты, на которых было произведено измерения температуры, так и давление для соответствующих высот. Однако при любом таком задании вертикальной сетки они оказываются не синхронизированы для данных любых случаев зондирований (рис. 1).
Поэтому для построения ковариационной матрицы была использована единая регулярная сетка, которая задавалась по давлению. Для пересчета исходных значений всех профилей ансамбля на одну и ту же сетку использовался метод сплайн-интерполяции. Первое значение сетки соответствовало давлению на уровне аэрологической станции, второе значение – 975 гПа, все остальные значения шли с шагом 25 гПа. Конечное значение давления задавалось как 100 гПа. Профили, не содержащие данные до высот с давлением 100 гПа, исключались из формируемого ансамбля (рис. 2.).
Рис. 1 Иллюстрация не совпадения вертикальных сеток данных аэрологического зондирования как по давлению (первая колонка), так и по высоте (вторая колонка)
Рис. 2. Пример проведения сплайн-интерполяции
На рис. 2 в таблице в колонках «А» и «В» по данным аэрологического зондирования содержатся значения атмосферного давления в гПа и температуры в градусах Цельсия. В колонке «С» записана новая регулярная сетка по давлению, на которую методом сплайн-интерполяции пересчитаны значения температуры. В колонках «D» и «E» – новая сетка по давлению (в порядке возрастания) и профиль температуры, подготовленный к включению в ансамбль профилей для расчета ковариационной матрицы. Фрагмент готового ансамбля представлен на рис. 3.
Рис. 3. Конечный этап формирования ансамбля вертикальных профилей температуры
Здесь в колонке «А» – профиль давления в гПа с шагом 25 гПа, все остальные колонки – вертикальные профили температуры, приведенные к единой вертикальной сетке. Первая строка содержит порядковый номер профиля температуры в ансамбле.
Расчет ковариационной матрицы производился с использованием стандартной опции «Ковариация» пакета «Анализ данных» табличного процессора «Excel». Результат такого расчета представлен на рис. 4 (поскольку ковариационная матрица является диагональной, то на рис. 4 представлена лишь ее часть ниже главной диагонали). Здесь первая колонка – профиль давления в гПа, первая строка – порядковый номер уровня давления: первый – 100 гПа, второй – 125 гПа и т.д. Начиная с колонки «В» и 2-ой строки представлены значения ковариационной матрицы.
Рис. 4. Пример представления ковариационной матрицы
Для вычисления собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы использовалась специально подготовленная программа, в которой все действительные собственные числа и собственные вектора симметричной матрицы определяются методом скалярных произведений [4].
Рис. 5. Результат расчета собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы вертикальных профилей температуры
На рисунке 5 представлен фрагмент файла с результатами расчета собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы вертикальных профилей температуры. Здесь в колонке "А" приводятся поясняющие надписи, во второй строке приводятся значения собственных чисел ковариационной матрицы (ранжирование проведено в порядке их возрастания), а в колонках "В" и далее – профили собственных векторов ковариационной матрицы (шкала давления соответствует данным из колонки "А" на рис. 4).
На рис. 6 приведены графики первых 7 собственных векторов ковариационной матрицы вертикальных профилей температуры. Обращает на себя "поведение" первого (и самого информативного) собственного вектора. Он четко описывает типичное поведение вертикального профиля температуры: падение значений до уровня тропопаузы и рост после этого уровня.
Рис. 6. График первых 7 собственных векторов ковариационной матрицы профилей температуры (номер ряда соответствует номеру собственного вектора, ранжированных в порядке убывания собственных чисел)
Расчет вектора k, содержащий коэффициенты параметризации для подлежащего параметризации профиля r производился с использованием метода наименьших квадратов по формуле (1).
, (1)
где матрица М состоит из m собственных векторов ковариационной матрицы ансамбля векторов температуры, МТ – транспонированная матрица, [ ]-1 – обратная матрица, 
– средний профиль ансамбля, использованного для расчета собственных чисел и собственных векторов ковариационной матрицы. С учетом полученного вектора с коэффициентами параметризации оценка исходного профиля может быть вычислена по формуле (2).
(2)
Сравнение вектора r с его оценкой позволяет оценить погрешность малопараметрического представления профиля температуры (рис. 7). В результате сравнения средняя ошибка составила 0,05 0С, среднквадратическое отклонение 1.5 0С.
Рис. 7. График профиля температуры и его параметрического представления