В статье продолжено рассмотрение общих и частных случаев умножения 1-ого сомножителя, состоящего из однородных цифр в количестве 
на 2-ой сомножитель, составленный из произвольных цифр в количестве 
. В основном рассматриваются случаи, когда 
.
Отметим особенности структуры ответа таких произведений, указанные в [1]. В общем случае ответ состоит из 3-ёх частей: 1-ой (начальной), 2-ой (средней) и 3-ей (конечной). Общее количество цифр ответа равно +. 1-ая и 3-ая часть состоят из цифр каждая. При необходимости к 1-ой части может добавляться 0. Например: 3333*1=36663=036663. Самая консервативная - 3-я часть ответа. Она не меняется с увеличением . Самая вариабельная по количеству цифр – средняя часть (2-ая). Количество цифр, которые здесь появляются = Δ, а Δ=-.
Средняя часть ответа – это периодическое число или непериодическое число со сбоем (когда последняя цифра на единицу меньше). При Δ
0, цифра сбоя исчезает последней.
При Δ=, число средней части имеет равное с остальными частями ответа количества цифр. Назовём его особым числом средней части. В случае периодической средней части оно равно сумме чисел 1-ой и 3-ей частей. В случае сбоя оно меньше каждого из них.
Замечание: если вторая часть со сбоем, то при Δ
к первой части ответа прибавляется 1.
Пример: 77*88=6776; 77777*88=6844376
443 – средняя часть, 43 - особое число средней части, 3 – цифра сбоя, 4 - периодическое число.
В случае сбоя если известна, например, 1-ая и 2-ая части ответа, то 3-ю находим как разность, между числом, состоящим из периодических цифр в количестве , к которым впереди добавлена единица. Для привёденного примера 144-68=76 – 3-я часть ответа (или 144-76=68 – первая часть, если известна 3-я и наоборот). Средняя часть ответа можно находить независимо от остальных. Для этого второй сомножитель умножаем на цифру 1-ого и полученное произведение пошаговым суммированием приводим к простому числу. Если число операций суммирования (порядок простого числа) к
, то средняя часть ответа периодическое число, а если к
, то число со сбоем.
Примеры:
Если средняя часть без сбоя, то изменений в 1-ой части нет: 777*123=142191, 77777*123=14233191. В случае сбоя имеем: 55*58=3190, 5555*58=322190.
Нахождение средней части ответа:
Среднюю часть ответа можно находить независимо от 1-ой и 3-ей его части. Для этого надо 2-ой сомножитель умножить на цифру 1-ого и полученное произведение пошаговым суммированием привести к простому числу. Если число операций суммирования (порядок простого числа) 
то средняя часть ответа только периодическое число, а если 
- средняя часть со сбоем.
Примеры.
Δ=1; 683×5=3415→346→(40)→4 - периодическое число средней части ответа. Так как к=3= то сбоя нет и средняя часть 4 (Δ=1), а особое число средней части 444 и 379+065=444.
Δ=2; 654*8=5232→525→57→12→3; к=4
3=
-имеем сбой. Средняя часть ответа – 32, а особое число 332
581+752=1333 – см [1].
Замечание: другой порядок получения простого числа к может не дать правильного ответа относительно сбоя.
Различные общие способы умножения первого сомножителя на двучлены трёхчлены и т.д.
Метод 1.Умножение каждой цифры 2-го сомножителем на цифру первого.
1) (3*4)(2*4)(6*4)
(12)(08)(24); затем справа налево записываем суммы нечётного количества цифр в последовательности 1,3,5 и т.д. поучим 744, где 1)4; 2)2+4+8=14→4(1) ; 3)4+2+8+0+2+(1)= 17→7(1)
Замечание: записываем единицы с учётом предыдущих индексов.
744 – 3-я часть ответа. Для получения цифры средней части суммируем все цифры скобок с учётом индексов
4)4+2+8+0+2+1+(1)=18→8(1) ; 8>7, следовательно 8 –периодическая цифра средней части ,а так как Δ=1 то средняя часть ответа- 8. Особое число средней части 888, тогда число 1-ой части 888-744=144. Ответ: 1448744.
Но первую часть можно найти, суммируя цифры скобок слева направо в количестве 5,3,1 (с учётом предыдущих индексов). 5)1+2+0+8+2+(1)=14+4(1) ; 6)1+2+0+(1)=4; 7)1. Записываем с конца слева направо, получим 144 – первая часть ответа.
Метод 2. Нахождение произведение первых сомножителей, состоящих из разного количества одинаковых цифр на двучлены, трёхчлены и т.д. из произвольных цифр если известно произведение одной цифры 1-ого сомножителя на соответствующий 2-ой.
Дано: 
(*) Найти 
Правило: последняя цифра во всех ответах сохраняется. Затем от конца к началу в (*) пошагово суммируются соседние цифры ответа (*) до первой включительно, затем записывается 1-ая цифра. Максимальное количество суммируемых цифр задается величиной . Причем, если их >2, то пошагово достигнув максимума, их количество аналогично уменьшают до 1-ой цифры, если Δ=0.
Если Δ≥1, то максимальную сумму повторяют Δ раз. Во всех случаях учитываются индексы.
1) 
(*) Из (*) имеем справа налево 8; (3+8=11
); (3+1+(1)=5); 1. Получим 1518. Полученные цифры слева направо записываем в ответе с конца к началу
2) 
(*) Из (*) следует 8; (8+3=11); (8+3+1+(1)=13
; (3+1+0=5);1 Получим 15318
3) 
(*) Из (*) следует 8; (8+3=11); (8+3+1+(1)=13); (8+3+1+(1)= =13 (Δ=2); (3+1+(1)=5);1
Получим 153318.
Аналогично, если 2-ой сомножитель 3х, 4х и т.д. член.
Найти 
если 
(*)
8; (8+1=9); (8+1+7=16
);( 8+1+7+5+(1)=21 
); т.к. Δ=2 8+1+7+(5)+(1)=22
Затем смещаемся на 1 цифру и пошагово уменьшаем количество суммируемых цифр т.е.
1+7+5+(2)=15
; 7+5+(1)=13; 5+(1)=6. Ответ:66666*953=63532698.
Метод 3. Способ умножения крайних цифр сомножителей (столбиком).
56=7*8; 64=8*8
120=56+64
Т.к Δ=0, ответ: 6864
Замечание: при распределении чисел суммы крайних сомножителей (120) между ними единицы прибавляются к десяткам правого двучлена, а остальные - к соответствующим более высоким разрядам левого.
1)14 42 3)20 02
2)14 (56) 42 4)20 (22) 02; то есть (22)=20+02 - средняя часть. Проверка:
26*7=182→
20→2 (к=2=)→22 - периодическая 2-ая часть
ответа:7777*26= 202202
3)
1) 56 48
2) 
80=(7+3)*8
72=(3+6)*8
128=(7+3+6)*8
3)640 (128) 768
-1ая и 3-тья части ответа трёхчлены.
Найдём среднюю часть ответа:
4)653 568 736*8=5888
59665112
к=4
= 3имеем сбой1 - число сбоя, а т.к. Δ=1, то средняя часть равна 1. В случае сбоя к 1-ой части ответа добавляется 1.
Ответ:8888*736=6541568.
(4) 
128=(9+7)*8
32=(3+1)*8
152=(9+7+3)*8
88=(7+3+1)*8
160=(9+7+3+1)*8
Ответ 8888*9731=86489128 т.к. Δ=0, - средней части нет.
Метод 4.
Способ позволяет легко находить 1-ую и 2-ую часть ответа, а, следовательно, и 3-ю часть для случаев . Для получения результата второй сомножитель умножают на цифру 1-ого, а затем результат делят на 9. Целая часть результата деления и есть 1-ая часть ответа. 1-ая цифра дробной части периодическое число 2-ой части. А 3-тья часть находится как разность 1-ой и 2-ой частей ответа. Это в том случае, если нет сбоя, если имеем сбой, то 3-я часть находится по ранее указанным правилам. Если в результате получается целое число, то первая часть ответа на единицу меньше его, а средняя часть состоит из девяток.
Примеры:
1) 7777*86=?
1)86*7=602; 2)602:9=66,88… 66
88сбоя нет, тогда 3-ая часть 88-66=22
Ответ: 7777*86=668822
2)8888*34=? 1)272:9=30,22 2230средняя часть – 21(сбой) 3-ая часть: 122-30=92
Ответ: 8888*34=302192
3)4444*876=? 1)876*4=3504; 2) 3504:9=389,333…, где 333389 средняя часть со сбоем и так как Δ=1, среднее число 2, особое число 332, тогда 3-ая часть ответа равна 1333-389=944
Ответ: 4444*876=3892944
4)222*354=? 1)354*2=708; 2)708:9=78,66; 1-ая часть – 078, средняя часть равна 0 (Δ=0); среднее число 666, тогда 3-ая часть:666-078=588. Ответ 222*354=078588.
Некоторые частные случаи
1}Умножение 33….3 на любое число 2-го сомножителя (
) является частным случаем способа (4).Здесь 1-ая часть ответа и периодическое число 2-ой части находится сразу делением 2-ого сомножителя на 3 (цифру 1-ого сомножителя). Периодическая цифра 2-ой части ответа – это первая дробная цифра при делении. Если при делении получаем целое число, то 1-ая часть ответа на единицу меньше, а периодическая цифра 2-ой части во всех таких случаях будет 9.
Примеры:
1)
47*3=15,6. Периодическое число 2-ой части – 6, а т.к. Δ=2, то
средняя часть ответа – 66, а 3-я: 66-15=51
2) 
283:3=79,3 следовательно 1-ая часть ответа 079 (т.к. 
),
средняя часть – 3 (т.к. Δ=1), особое число 333, (при Δ=) тогда
3-я часть 333-079=257
3) 
8496:3=2832 – целое, следовательно, 1-ая часть ответа 2831, особое
число средней части 9999 (при Δ=), а т.к. Δ=0, то средней части
ответа нет. 3-я часть 9999-2831=7158
Замечание:
1)Умножение 1-го сомножителя из шестерок на 2-ой сомножитель ( ) можно заменить умножением аналогичного сомножителя из троек на удвоенный 2-ой сомножитель: 6666*28=3333*56=186648
2} Умножение 55…5 на однородные двучлены.
В этом случае ответ можно записать сразу. Здесь 3-я часть ответа – произведение крайних цифр сомножителей. Если к результату прибавить цифру 2-го сомножителя, получим 1-ую часть ответа. А средняя часть – цифры 2-ого сомножителя в количестве равная Δ.
Примеры:
55*33=1815(Δ=0); 55555*77=4277735 (Δ=3)
При умножении 55…5 на произвольный двучлен цифры п1-ой и 2-ой части ответа – это первые 4 цифры, полученные при делении двучлена на 18 (это число ответов, где первая цифра (1,2…5 одинаковая)). Если при делении получаем целое число, например 4), то 1-ая часть ответа 40-1=39, а 2-ая состоит из 9 ( или 4000-1=3999). 3-ая часть ответа – произведение последних цифр сомножителей. Если оба числа 2-ого сомножителя чётные или нечётные и к этому произведению добавляем 50, если одна из чисел 2-ого сомножителя чётная, а другая нет.
5555*49=?; 49:18=2722 27 – 1-ая часть ответа, 2 – периодическая цифра 2, но 2227, следовательно, средняя часть 21. 3-ая часть 5*9+50=95. Ответ 272195
5555*82=?; 82:18=4555, 5545, 55 – 2-ая часть ответа; 3-ая часть 5*2=10, т.е. 8 и 2 – четные. Ответ: 455510.
Умножение 7777 на произвольный двучлен. В этом случае сначала находим 2-ую часть ответа (обычным способом), затем 1-ю. Для этого двучлен делим на 13. Первые 2 цифры – это первая часть ответа. В случае сбоя к ней добавляют 1. 3-ая часть находится как разность 2-ого и 1-ого (с учётом особенности сбоя, если он есть).
3} Умножение сомножителей, каждый из которых состоит из произвольных, но однородных цифр, причем (
).
7*8=565+6=(05)+(06)=11
1)5+11=(16) 2)16+11=(27)
3) 6+11=(17) 4) 17+11=(28)
Находим средний двучлен (скобку): 11*=11*3=(33). Составляем ответ (05)(16) (27) (33) (28)(17)(06)(справа налево суммируем соседние цифры с учётом индексов) 6905976
Правило:
1.Перемножаем крайние цифры сомножителей, и результат записываем двучленом (56). Если получили одночлен, то впереди добавляем 0.
2. Расписываем двучлен как сумму составляющих цифр (7*8=56 5+6 =(05)+(06)=11)
3.К каждому слагаемому прибавляем результат их сложения (11), а к результату еще раз прибавляем (11) и так ( -1) раз. В нашем случае получаем результаты (16);(27) и (17);(28) т.к. -1=3-1=2 т.е. выполнили 2 шага.
4.Находим величину и количество средних двучленов (скобок). Их количество равно Δ, а величина находится умножением среднего двучлена на т.е. 11*3=(33).
5.Результат выписываем в виде последовательности двучленов (скобок 1,2,4,3), расположенных симметрично относительно центра (при Δ=0) или средних двучленов(2,4); (во всех случаях, где появляется одночлен, впереди добавляем 0 т.е. 5=(05)).
А далее пошаговым суммированием справа налево получаем ответ.
4} Нахождение произведения 1-го сомножителя на двучлены, (трехчлены,..,) состоящих из различных цифр, которые могут находиться в ротации, если известно произведение какого-либо одного из них.
Примеры: умножение на 2-х член.
1) Найти 7777*74, если 7777*47=365519
Решение: 1). Находим разность вторых сомножителей 74-47=27. 2) 27:9=3; 3) 3*7=21 (7-цифра 1-го сомножителя). Т.к. 74 47, то к 1-ой части ответа прибавляем, а от 3-ей – отнимаем 21. Получаем ответ
т.е. 7777*74=575598
Если известно произведение на больший сомножитель, а на меньший требуется найти, то результат указанных действий (21) от 1-ой части ответа отнимают, а к 3-ей прибавляют.
Замечание: если второй сомножитель двучлен, то действие 1) и 2) можно заменить положительной разностью цифр 2-ого сомножителя 7-4=3.
Пример: Найти 6666*17, если 6666*71=473286
Решение: 1) 7-1=6; 2)6*6=36; 3)т.к. 17 < 71, то
Т.е 6666*17=113322
Пример умножение на 3-х член
Пусть 4444*768=3412992. При ротации цифр 2-го сомножителя имеем 6 вариантов:
768,678, 876, 786, 687, 867, т.е. 3!=1*2*3=6. Произведение на любой из них находится аналогично. Найдем, например 4444*786=?
Решение: 1) 786-768=18; 2) 18:9=2; 3)2*4=8. Т.к. 786 768, то
Т.е. 4444*786+3492984
Умножение на 4-х-значные числа аналогично при условии .
Замечание: при умножении 11, 111… на двучлены, сумма цифр которых простое число 1-го порядка, ответы различаются только переменой мест крайних цифр
Примеры: 11*25=275: 11*52=572; 111*25=2775; 111*52=5772