В настоящее время большое количество литературы посвящено решению первой и второй краевой задачи для уравнения Лапласа [8-10]. Такие задачи называют задачами Дирихле и Неймана, соответственно. В то же время, смешанным граничным условиям посвящено довольно небольшое количество исследований.
1. Постановка задачи
Пусть в плоскости 
задана прямоугольная область
.
Требуется найти функцию 
, удовлетворяющую внутри области 
уравнению Лапласа
(1)
а на границе 
условиям
, 
,(2)
, 
, (3)
где 
,
и 
,
- непрерывные функции по 
и 
соответственно.
2. Метод конечных разностей
Для численного решения задачи (1)-(3) будем использовать метод конечных разностей или метод «сеток» [1].
Покроем область сеткой (рисунок 1). Частные производные из уравнения (1) аппроксимируем центрированными разностными формулам [3]. Получим
(4)
Здесь 
, 
, 
– число узлов по 
– число узлов по .
Рисунок 1 – Сетка для области
Для граничных условий (2) и (3) используем аппроксимацию [4] с разностью вперед, получим:
, 
, 
, 
, 
(5)Равенства (4) и (5) образуют систему алгебраических уравнений, относительно переменных 
(
), которая может быть решена точным или приближенными методами[4].3. Итерационный метод решения систем конечно-разностных уравнений
Решение системы уравнений (4)-(5) методом Гаусса удобно лишь при небольшом количестве узлов. В случае более мелкого разбиения данный метод оказывается вычислительно неэффективным, поэтому используют специальные итерационные методы.
Для систем конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих уравнение Лапласа, в качестве такого метода может быть использован процесс усреднения Либмана [5].Выразим из уравнения (4) 
:
(6)
Зададим во внутренних точках сетки начальное приближение 
. Последующие приближения будем вычислять по формулам:
, 
(7)Для границы области достаточно задать начальное значение только в точке 
. В остальных граничных точках значения сеточной функции 
вычисляются по формулам:Доказано [6], что данный метод сходится, не зависимо от выбора начального приближения, т.е. существует предел
Для ускорения процесса сходимости используют следующие приемы [7]:1) чтобы получить начальное приближенное решение задачи, считают, что функция по горизонтали (вертикали) внутри области распределена равномерно;2) при вычислении последующих приближений используют не только значения в узловых точках, полученных на предыдущем шаге, но и вновь найденные значения (метод Зейделя), т.е. используя формулу:
Процесс последовательного приближения решения обычно продолжают до тех пор, пока во всех узлах сетки выполняется условие
где 
– заданная погрешность вычисления.Т.е. до тех пор, пока в двух последовательных приближениях не совпадет требуемое количество десятичных знаков.4. Численный эксперимент
Были проведены численные эксперименты для решения конкретной задачи:
, 
,
, 
.
Процесс вычисления состоял из нескольких этапов:1) вычисление начального приближения на границе области ;2) вычисление начального приближения внутри области (чтобы получить начальное приближение внутри области , будем считать, что функция распределена равномерно по вертикалям);3) составление системы алгебраических уравнений по формулам (7)-(11);4) решение системы уравнений итерационным методом Зейделя с точностью 
.В таблицах 1-3 приведены некоторые приближения задачи для пятиточечной сетки.Таблица 1. Первое приближение для пятиточечной сетки
|
|
(8) |
|
|
(9) |
|
|
(10) |
|
|
(11) |
|
8,774 |
8,345 |
7,710 |
6,759 |
5,346 |
|
4,031 |
2,427 |
2,538 |
2,999 |
3,628 |
|
0,585 |
-0,928 |
-0,802 |
-0,177 |
1,171 |
|
-1,919 |
-3,576 |
-3,905 |
-3,717 |
-2,271 |
|
-3,689 |
-5,142 |
-6,106 |
-6,705 |
-7,028 |
Таблица 2. Шестое приближение для пятиточечной сетки
|
8,775 |
8,346 |
7,712 |
6,761 |
5,349 |
|
4,097 |
4,323 |
4,131 |
3,814 |
3,632 |
|
0,635 |
0,863 |
0,785 |
0,768 |
1,176 |
|
-1,882 |
-2,181 |
-2,547 |
-2,684 |
-2,265 |
|
-3,662 |
-5,121 |
-6,091 |
-6,69 |
-7,020 |
Таблица 3. Тринадцатое приближение для пятиточечной сетки
|
8,775 |
8,346 |
7,712 |
6,761 |
5,349 |
|
4,097 |
4,395 |
4,203 |
3,850 |
3,632 |
|
0,635 |
0,935 |
0,858 |
0,804 |
1,176 |
|
-1,882 |
-2,144 |
-2,511 |
-2,666 |
-2,265 |
|
-3,662 |
-5,121 |
-6,091 |
-6,693 |
-7,020 |
Таким образом, за 13 итераций удалось достичь заданной точности. Время выполнения программы менее 1с.На рисунках 10–11 представлены начальное и конечное приближения для сетки размером 11х15.
Рисунок 2 – Визуализация начального приближения
Рисунок 3 – Визуализация конечного приближения
Результатом исследований стала аппроксимация уравнения Лапласа и смешанных граничных условий в случае неравномерной сетки, построение и реализация алгоритма численного решения смешанной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением Лапласа.Проведенные численные эксперименты показали хорошую сходимость и высокую вычислительную эффективность алгоритма численного решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа.