Кривая циклоида очень интересна для изучения, однако, не так просто найти литературу, ей посвященную. В большинстве таких источников циклоида упоминается только вскользь, или рассматривается недостаточно полно. Однако, она используется при решении различных задач. Ввиду того, что циклоидальные кривые широко применяются в технике для построения профилей зубьев шестерен, очертаний многих типов эксцентриков, кулаков и пр., мы посчитал данную тему актуальной и интересной для изучения. Общее название линий, описываемых точкой любой кривой, катящейся без трения по любой другой кривой, – рулетты. Простейшая из рулетт, описываемая точкой окружности, катящейся без трения по прямой линии, – циклоида [3, 4, 6] (рис. 1).
Рис. 1. Простейшая рулетта
Циклоидой называется линия, которую описывает точка, закрепленная в плоскости круга, когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой.
Если точка, описывающая циклоиду, взята внутри производящего круга, тоциклоиданазывается укороченной; если вне круга – удлиненной; если же точка лежит на окружности, то линия, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой или чаще просто циклоидой (рис. 2). Например, когда вагон движется по рельсам, то внутренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду, точка на ободе – удлиненную, а точка окружности колеса – обыкновенную циклоиду[1, 5, 2].
Рис. 2. Виды циклоид
Изучение циклоид, а также принципа их построения способствует тому, что, определяя закономерности, которым подчиняется след движущейся точки, и, описывая их, можно прийти к тому, что, зная только параметры направляющей и производящей фигур, можно построить интересующую кривую.
Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движения, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) [7].
Параметрические уравнения циклоиды и ее уравнение в декартовых координатах имеют вид [8]:
где (0 ≤ t ≤ 2π).
где r – радиус окружности, образующей циклоиду.
Циклоидальные кривые широко применяются в технике для построения профилей зубьев шестерен, очертания многих типов эксцентриков, кулаков и пр. [1, 5, 7].
Циклоидальное зацепление– такой вид зацепления, при котором профили зубьев очерчены по участкам циклоид: эпициклоид и гипоциклоид. Эпициклоида получается при перекатывании производящей окружности с радиусом rI по внешней стороне направляющей (неподвижной) окружности с радиусом r1 без скольжения. Гипоциклоида получается при перекатывании производящей окружности по внутренней стороне неподвижной окружности.
Особенность циклоидального зацепления состоит в том, что, при внешнем зацеплении головку зуба очерчивает эпициклоида, а ножку зуба – гипоциклоида. Происходит касание эпициклоиды шестерни с гипоциклоидой колеса. При внутреннем зацеплении – наоборот.
Достоинства:
1) скорость скольжения и удельное скольжение меньше, а, следовательно, более плавная и бесшумная работа;
2) более высокий КПД;
3) коэффициент перекрытия больше 2;
4) отсутствие подрезания ножки зуба.
Недостатки:
1) профилем циклоидальной рейки являются две циклоиды, а не прямая, как в эвольвентном зацеплении;
2) очень чувствительно к ошибкам в профиле и изменению межосевого расстояния;
3) сложность изготовления инструмента и поэтому его высокая себестоимость.
Упрощенными видами циклоидального зацепления являются часовое и цевочное зацепления.
Большое внимание в настоящее время уделяется эксцентриково-циклоидальному зацеплению зубчатых колес, разрабатываются механизмы на его основе.
На рис. 3 показаны внутренняя цилиндрическая(а), коническая(б) и реечная(в) передачи, использующие ЭЦ-зацепление.
Рис. 3. Простые передаточные механизмы на основе ЭЦ-зацепления
Рис. 4. Планетарные механизмы на основе ЭЦ-зацепления
На рис. 4 приведены планетарные механизмы по схеме Джеймса на базе ЭЦ-зацепления с криволинейными зубьями(а), с разнесенными сателлитами(б) и по схеме Давида(в) с использованием в одном ряду эвольвентного, а в другом ряду – ЭЦ-зацепления.
В настоящее время на основе ЭЦ-зацепления выполнен ряд проектов. Разработаны и изготовлены ручные гайковерты, редуктор для привода следящей системы.
Разработан проект замены отработавших свой срок службы редукторов для станков–качалок, с использованием того же корпуса с посадочными местами. Замене подлежат только колеса. При этом для достижения того же передаточного отношения потребуется значительно меньшее число зубьев. При тех же габаритах редуктора возникает возможность значительного увеличения размеров зуба, что в целом позволяет увеличить ресурс редуктора не менее чем в 5 раз.
Как видим, циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в физике, и в технологических расчетах [1, 2, 5].
Задачи, приводящие к циклоиде, сыграли значительную роль в становлении механики и математического анализа. Но, когда величественные здания этих наук были построены, оказалось, что эти задачи являются частными, далеко не самыми важными. История циклоиды завершилась в конце XVII века: стало ясно, что циклоида не связана с фундаментальными законами природы, как например, конические сечения. Произошла поучительная историческая иллюзия.
В ходе работы над проектом были выяснены основные свойства циклоиды. Смогли построить циклоиду с помощью модели. Как оказалось, циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, физике, технике
Применение «замечательных кривых» широко распространено, их применяют в производстве, строительстве, военном деле. «Замечательные кривые» поистине замечательны своими свойствами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так незаметны для нашего повседневного взора.
Итак, в ходе выполнения данного исследования были выяснены основные свойства циклоиды. Как оказалось, циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в физике, и в технологических расчетах. Все полученные при исследовании результаты используются в качестве учебных материалов информационно-образовательной среды кафедры ОНД АМТИ.